(2006•成都)已知:如圖,在正方形ABCD中,AD=12,點(diǎn)E是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與端點(diǎn)C,D重合),AE的垂直平分線FP分別交AD,AE,BC于點(diǎn)F,H,G,交AB的延長線于點(diǎn)P.
(1)設(shè)DE=m(0<m<12),試用含m的代數(shù)式表示的值;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)時(shí),求BP的長.

【答案】分析:(1)通過構(gòu)建相似三角形來求解,過點(diǎn)H作MN∥AB,分別交AD,BC于M,N兩點(diǎn).那么MH就是三角形ADE的中位線,MH=m,那么HN=12-m,只要證出兩三角形相似,就可表示出FH:HG的值,已知了一組對(duì)頂角,一組直角,那么兩三角形就相似,F(xiàn)H:HG=MH:NH,也就能得到所求的值.
(2)可通過構(gòu)建相似三角形求解,過點(diǎn)H作HK⊥AB于點(diǎn)K,那么HN=KB,MH=AK,根據(jù)FH:HG=1:2,就能求出m的值,也就求出了MH,HN的長,又知道了HK的長,那么通過三角形AKH和HKP相似我們可得出關(guān)于AK,KH,KP的比例關(guān)系,就可求出KP的長,然后BP=KP-KB就能求出BP的長了.
解答:解:(1)過點(diǎn)H作MN∥AB,分別交AD,BC于M,N兩點(diǎn),
∵FP是線段AE的垂直平分線,
∴AH=EH,
∵M(jìn)H∥DE,
∴Rt△AHM∽R(shí)t△AED,
==1,
∴AM=MD,即點(diǎn)M是AD的中點(diǎn),
∴AM=MD=6,
∴MH是△ADE的中位線,MH=DE=m,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴四邊形ABNM是矩形,
∵M(jìn)N=AD=12,
∴HN=MN-MH=12-m,
∵AD∥BC,
∴Rt△FMH∽R(shí)t△GNH,

(0<m<12);

(2)過點(diǎn)H作HK⊥AB于點(diǎn)K,則四邊形AKHM和四邊形KBNH都是矩形.

解得m=8,
∴MH=AK=m=8=4,HN=KB=12-m=12-8=8,KH=AM=6,
∵Rt△AKH∽R(shí)t△HKP,
,即KH2=AK•KP,
又∵AK=4,KH=6,
∴62=4•KP,解得KP=9,
∴BP=KP-KB=9-8=1.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),要充分利用好正方形的性質(zhì),通過已知和所求的條件構(gòu)建出相似三角形來求解是解題的關(guān)鍵.
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(2)若AC=EF,試判斷四邊形AFCE是什么樣的四邊形,并證明你的結(jié)論.

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