Question

【題目】如圖，直線y=4－x與兩坐標(biāo)軸分別相交于A、B點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB上任意一點(diǎn)(A、B兩點(diǎn)除外)，過M分別作MC⊥OA于點(diǎn)C，MD⊥OB于點(diǎn)D。

(1)當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OCMD的周長為________；

(2)當(dāng)四邊形OCMD為正方形時(shí)，將正方形OCMD沿著x軸的正方向移動(dòng)，設(shè)平移的距離為a (0<a≤4)，在平移過程中：

①當(dāng)平移距離a=1時(shí), 正方形OCMD與△AOB重疊部分的面積為________；

②當(dāng)平移距離a是多少時(shí)，正方形OCMD的面積被直線AB分成l：3兩個(gè)部分?

Answer 1

【答案】（1）8；（2）①3.5；②a=或

【解析】試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-x+4（0＜x＜4，x＞0，-x+4＞0）根據(jù)四邊形的周長計(jì)算方法計(jì)算即可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OCMD的周長不發(fā)生變化，總是等于8．

（2）①當(dāng)0＜a≤2時(shí)，S=4-a2=-a2+4,并且a=1可求出重疊部分的面積；

②當(dāng)四邊形為OCMD為正方形時(shí)，先求得正方形的邊長，從而可求得正方形的面積，可求得正方形被直線分成的較小的部分的面積為1，然后再證明“較小的部分”為等腰直角三角形，從而可求得該等腰直角三角形的直角邊的長度，于是可求得平移的距離．

試題解析：（1）（1）設(shè)OC=x，則CM=4-x．

∵MC⊥OA，MD⊥OB，OD⊥OC，

∴四邊形OCMD為矩形，

∴四邊形OCMD的周長=OD+OC+CM+DM=2（CO+CM）=2（x+4-x）=2×4=8．

（2）①如圖（ 2 ），當(dāng)0＜a≤2時(shí)，S=S四邊形O′CMD-S△MEF=4-a2=-a2+4，

②∵當(dāng)四邊形為OCMD為正方形時(shí)，OC=CM，即x=4-x，解得：x=2，

∴S正方形OCMD的面積=4．

∵正方形OCMD的面積被直線AB分成1：3兩個(gè)部分，

∴兩部分的面積分別為1和3．

當(dāng)0＜a≤2時(shí)，如圖1所示：

∵直線AB的解析式為y=4-x，

∴∠BAO=45°．

∴△MM′E為等腰直角三角形．

∴MM′=M′E．

∴MM′2=1．

∴MM′=，即a=

當(dāng)2＜a＜4時(shí)，如圖2所示：

∵∠BAO=45°，

∴△EO′A為等腰直角三角形．

∴EO′=O′A．

∴O′A2=1，解得：O′A=．

∵將y=0代入y=4-x得；4-x=0，解得：x=4，

∴OA=4．

∴OO′=4-，即a=4-．

綜上所述，當(dāng)平移的距離為a=或a=4時(shí)，正方形OCMD的面積被直線AB分成1：3兩個(gè)部分．