Question

已知等腰三角形△ABC中，AB=AC，∠C的平分線與AB邊交于點(diǎn)P，M為△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC邊的切點(diǎn)，作MD∥AC，交⊙I于點(diǎn)D．
證明：PD是⊙I的切線．

Answer 1

分析：過P點(diǎn)作出圓的切線，Q點(diǎn)為切點(diǎn)，通過證明Q點(diǎn)與D點(diǎn)重合來證明DPD與圓相切．

解答：證明：過點(diǎn)P作⊙I的切線PQ（切點(diǎn)為Q）并延長，交BC于點(diǎn)N．
∵CP為∠ACB的平分線，
∴∠ACP=∠BCP．
又∵PA、PQ均為⊙I的切線，
∴∠APC=∠NPC．
又CP公共邊，
∴△ACP≌△NCP，
∴∠PAC=∠PNC．
由NM=QN，BA=BC，
∴△QNM∽△BAC，
故∠NMQ=∠ACB，
∴MQ∥AC
又∵M(jìn)D∥AC，
∴MD和MQ為同一條直線．
又點(diǎn)Q、D均在⊙I上，
∴點(diǎn)Q和點(diǎn)D重合，
故PD是⊙I的切線．

點(diǎn)評：本題考查了切線的證明，和以往證明切線不同，本題采用了一種全新的證明切線的方法，即：作圓的切線，證明要證明的切線與所作切線重合．