Question

20．如圖，函數(shù)y=$\frac{k}{x}（x＞0）$的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，1），過點(diǎn)A作AC⊥x軸，垂足為C，過點(diǎn)B作BD⊥y軸，垂足為D，連接AD，BC．若AD∥BC，則線段BC的長(zhǎng)度為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由點(diǎn)B（1，1）求得y=$\frac{1}{x}$，設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為：（m，$\frac{1}{m}$），則C點(diǎn)的坐標(biāo)為：（m，0），tan∠ADF=$\frac{AF}{DF}$=$\frac{\frac{1}{m}-1}{m}$，tan∠AEC=$\frac{AC}{EC}$=$\frac{\frac{1}{m}}{1}$=$\frac{1}{m}$，進(jìn)而求出m的值，即可得出答案．

解答 解：延長(zhǎng)AD交x軸于E，設(shè)AC，BD交于F，
∵點(diǎn)B（1，1）在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴k=1，則y=$\frac{1}{x}$，
設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為：（m，$\frac{1}{m}$），則C點(diǎn)的坐標(biāo)為：（m，0），
∵BD∥CE，且BC∥DE，
∴四邊形BCED為平行四邊形，
∴CE=BD=1，
∵BD∥CE，
∴∠ADF=∠AEC，
∴在Rt△AFD中，tan∠ADF=$\frac{AF}{DF}$=$\frac{\frac{1}{m}-1}{m}$，
在Rt△ACE中，tan∠AEC=$\frac{AC}{EC}$=$\frac{\frac{1}{m}}{1}$=$\frac{1}{m}$，
∴$\frac{\frac{1}{m}-1}{m}=\frac{1}{m}$，
解得：m=$\frac{1}{2}$，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為：（$\frac{1}{2}$，0），
則BC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，得出A，D點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．