Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，AC∥x軸，點(diǎn)B、C的橫坐標(biāo)都是3，且BC=2，點(diǎn)D在AC上，若反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}（x＞0）$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、D，且$\frac{AO}{BC}=\frac{3}{2}$．
（1）求：k及點(diǎn)D坐標(biāo)；
（2）將△AOD沿著OD折疊，設(shè)頂點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A₁的坐標(biāo)是A₁（m，n），求：代數(shù)式m+3n的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)AO：BC=3：2，BC=2得出OA的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)B、C的橫坐標(biāo)都是3可知BC∥AO，故可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上可求出k的值，由AC∥x軸可設(shè)點(diǎn)D（t，3）代入反比例函數(shù)的解析式即可得出t的值，進(jìn)而得出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)A₁作EF∥OA交AC于E，交x軸于F，連接OAA₁，根據(jù)AC∥x軸可知∠A₁ED=∠A₁FO=90°，由相似三角形的判定定理得出△DEA₁∽△A₁FO，設(shè)A₁（m，n），可得出$\frac{m}{n}$=$\frac{3-n}{m-1}$，再根據(jù)勾股定理可得出m²+n²=9，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AO：BC=3：2，BC=2，
∴OA=3，
∵點(diǎn)B、C的橫坐標(biāo)都是3，
∴BC∥AO，
∴B（3，1），
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴1=$\frac{k}{3}$，解得k=3，
∵AC∥x軸，
∴設(shè)點(diǎn)D（t，3），
∴3t=3，解得t=1，
∴D（1，3）；

（2）過(guò)點(diǎn)A₁作EF∥OA交AC于E，交x軸于F，連接OA₁，
∵AC∥x軸，
∴∠A₁ED=∠A₁FO=90°，
∵∠OA₁D=90°，
∴∠A₁DE=∠OA₁F，
∴△DEA₁∽△A₁FO，
∵A₁（m，n），
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{3-n}{m-1}$，
∴m²+n²=m+3n，
∵m²+n²=OA₁²=OA²=9，
∴m+3n=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，翻折的性質(zhì)，勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)等知識(shí)，難度適中．