Question

9．如圖，矩形ABCD中，AD=10，AB=20，點P在邊CD上，且與點C、D不重合，過點A作AP的垂線與CB的延長線相交于點Q，連接PQ，PQ的中點為M．
（1）求證：△ADP∽△ABQ；
（2）若△PCQ的面積為100，求DP長；
（3）若BM的長為3$\sqrt{5}$，求DP長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠D=∠ABC=90°，∠DAB=90°，求出∠QAB=∠DAP，∠ABQ=∠D，根據(jù)相似三角形的判定得出即可；
（2）設(shè)PD=x，則PC=DC-DP=20-x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BQ=2x，由△PCQ的面積為100列方程即可得到結(jié)論；
（3）作MN⊥QC，則∠QNM=∠QCD=90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{MN}{PC}$=$\frac{QN}{QC}$=$\frac{QM}{QP}$=$\frac{1}{2}$，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到N為CQ的中點，由于PC=DC-DP=20-x根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABC=90°，∠DAB=90°，
∴∠ABQ=90°=∠D，
∵AQ⊥AP，
∴∠QAP=∠DAB=90°，
∴∠DAP=∠QAB=90°-∠BAP，
即∠QAB=∠DAP，∠ABQ=∠D，
∴△ADP∽△ABQ；

（2）解：設(shè)PD=x，則PC=DC-DP=20-x，
∵△ADP∽△ABQ
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DP}{BQ}$，
∴$\frac{10}{20}$=$\frac{x}{BQ}$，
∴BQ=2x，
∵△PCQ的面積為100，
∴$\frac{1}{2}$（20-x）•（2x+10）=100，
∴x=15，
∴PD=15；

（3）解：作MN⊥QC，則∠QNM=∠QCD=90°，
又∵∠MQN=∠PQC
∴△MQN∽△PQC，
∴$\frac{MN}{PC}$=$\frac{QN}{QC}$=$\frac{QM}{QP}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠C=∠MNQ=90°，
∴MN∥PC，
∵M為PQ的中點，
∴N為CQ的中點，
又∵PC=DC-DP=20-x
∴MN=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$（20-x），QN=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{1}{2}$（QB+10），
∵BQ=2x，
∵QN=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{1}{2}$（QB+10）=$\frac{1}{2}$（2x+10）=x+5，
∴BN=QB-QN=2x-（x+5）=x-5，
在Rt△MBN中，由勾股定理得：BM²=MN²+BN²=[$\frac{1}{2}$（20-x）]²+（x-5）²，
∵BM=3$\sqrt{5}$，
∴x=8，
∴PD=8．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，能綜合運用定理進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，難度偏大．