Question

如圖：已知a為正常數(shù)，F(xiàn)₁（-

a2+20

，0），F(xiàn)₂（

a2+20

，0），過F₂作直線l，點A，B在直線l上，且滿足AF₁-AF₂=BF₁-BF₂=2a，M，N分別為△AF₁F₂，△BF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心．
（1）設(shè)⊙M與F₁F₂相切于點P₁，⊙N與F₁F₂切于點P₂，試判斷P₁與P₂的位置關(guān)系，并加以證明；
（2）已知sin∠BF₂F₁=

8

9

，且MN=

9

2

，試求a的值．

Answer 1

分析：（1）解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)切線長定理把其中的線段進行轉(zhuǎn)換；
（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論，根據(jù)兩圓相切的性質(zhì)得到三點共線，充分利用切線的性質(zhì)構(gòu)造一個直角梯形．作另一高，根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求得NH，即DE的長．再根據(jù)切線長定理以及（1）的結(jié)論，得到F₁F₂的關(guān)于a的關(guān)系式，再結(jié)合已知條件得到關(guān)于a的方程，列方程求解．

解答：解：（1）P₁與P₂重合．
證明：由題意得AC=AD，
∵AF₁-AF₂=2a，
∴CF₁-DF₂=2a；
又∵F₁C=F₁P₁F₂D=F₂P₁，
∴P₁F₁-P₁F₂=2a，
同理P₂F₁-P₂F₂=2a，
∴P₁與P₂重合．

（2）由（1）知：MP₁⊥F₁F₂，NP₂⊥F₁F₂，P₁，P₂重合．
∴M，P₁，N共線，且MN⊥F₁F₂，
連接MN，NE，MD，則∠NED=∠MDE=90°
過N作NH⊥MD，H為垂足；
∵∠MP₁F₂=∠MDF₂=90°，∠HMN=∠BF₂F₁，
∴sin∠HMN=sin∠BF₂F₁=

8

9

，
又MN=

9

2

，
∴NH=MNsin∠HMN=4，
∴ED=4；
而DF₂=F₂P₁=F₂E，
∴F₂P₁=2，
又由（1）P₁F₁-P₁F₂=2a，
∴P₁F₁=2+2a，
∴P₁F₁+P₁F₂=2+2+2a=2

a2+20

，
解得a=4．

點評：此題綜合運用了切線長定理、銳角三角函數(shù)的概念和兩圓相切的性質(zhì)．