Question

14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的圓心在線段CA上，且它的半徑為3．
（1）當點0與點C重合時，⊙O與直線AB具有怎樣的位置關系？
（2）如果⊙0沿直線CA移動（點0沿直線CA移動），當OC等于多少時，⊙0與直線AB相切？

Answer 1

分析 （1）根據題意可以求得點C到AB的距離，然后與半徑比較大小，即可得到⊙O與直線AB具有怎樣的位置關系；
（2）由題意可得，⊙0與直線AB相切時，則點O到AB的距離就是半徑，然后根據三角形的相似即可求得OA的長，從而可以得到OC的長．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的圓心在線段CA上，且它的半徑為3，
∴AB=13，
∴當點0與點C重合時，點C到AB的距離是：$\frac{OA•OB}{AB}=\frac{5×12}{13}=\frac{60}{13}$，
∵$\frac{60}{13}＞3$，
∴⊙O與直線AB的位置關系是相離；
（2）當⊙0與直線AB相切時，
則點O到AB的距離是3，
則⊙O與AB的切點與點A、點O構成的三角形與三角形AOB相似，
∴$\frac{AO}{13}=\frac{3}{12}$，
解得，AO=$\frac{39}{12}$，
∴OC=AC-AO=5-$\frac{39}{12}$=$\frac{7}{4}$，
即當OC=$\frac{7}{4}$時，⊙0與直線AB相切．

點評 本題考查直線與圓的位置關系、三角形的相似，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．