Question

【題目】如圖，△ABC為銳角三角形，AD是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC上，頂點(diǎn)E，H分別在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求證：△AEH∽△ABC；
（2）求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形EFGH是正方形，

∴EH∥BC，

∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，

∴△AEH∽△ABC

（2）解：如圖，設(shè)AD與EH交于點(diǎn)M，

∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，

∴四邊形EFDM是矩形，

∴EF=DM，

設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為x，則DM=x，AM=30﹣x，

∵△AEH∽△ABC，

∴ = ，即 = ，

解得x= ，

∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)為 cm，周長(zhǎng)為 cm．

【解析】（1）根據(jù)四邊形EFGH是正方形，得到EH∥BC，進(jìn)而得出∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，即可判定△AEH∽△ABC；（2）設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為x，則DM=x，AM=30﹣x，根據(jù)△AEH∽△ABC，得出 = ，即 = ，進(jìn)而解得x= ，即可得出正方形的邊長(zhǎng)與周長(zhǎng)．