Question

8．如圖，已知拋物線y=ax²+bx-3與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0），另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為C，其頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸為直線x=1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ACM是以AC為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用對(duì)稱性可得B（3，0），則利用交點(diǎn)式得拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，所以-3a=3，解得a=1，于是得到拋物線解析式為y=x²-2x-3；
（2）分類討論：當(dāng)AC=AM時(shí)，易得點(diǎn)M₁（0，3），如圖；②當(dāng)CM=CA時(shí)，先計(jì)算出AC=$\sqrt{10}$，再以C點(diǎn)為圓心，CA為半徑畫弧交y軸于M₂，M₃，如圖，易得M₂（0，$\sqrt{10}$-3），M₃（0，-$\sqrt{10}$-3）．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴B（3，0），
∴拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，
∴-3a=3，解得a=1，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3；
（2）當(dāng)AC=AM時(shí)，點(diǎn)M₁與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，則M₁（0，3），如圖；
②當(dāng)CM=CA時(shí)，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
以C點(diǎn)為圓心，CA為半徑畫弧交y軸于M₂，M₃，如圖，則OM₂=$\sqrt{10}$-1，OM₃=OC+CM₃=3+$\sqrt{10}$，則M₂（0，$\sqrt{10}$-3），M₃（0，-$\sqrt{10}$-3）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3），（0，$\sqrt{10}$-3），（0，-$\sqrt{10}$-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．解決（2）小題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)畫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．