Question

8．根據(jù)要求，回答以下問題：
（1）如圖1，正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，點E是BO上的一點，BG垂直AE于F，交AC于點G．請你直接寫出AE、BG以及OE、OG的大小關(guān)系是：AE=BG，OE=OG．
（2）如圖2，菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，點E是BO上的一點，BG垂直AE于F，交AC于點G，且AC=6，BD=8，請你求出AE、BG的數(shù)量關(guān)系．
（3）如圖3，?ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AC=8，BD=24，∠AOB=60°，點E是BO上的一點，OE=1，點G在對角線AC所在的直線上，當(dāng)OG=3或9時，AE：BG=1：3．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，結(jié)論：AE=BG，OE=OG，只要證明△AOE≌△BOG即可．
（2）如圖2中，結(jié)論：4•AE=3•BG，只要證明△AOE∽△BOG即可．
（3）如圖3中，OG=3或9時，AE：BG=1：3，①只要證明△BOG∽△AOE即可，②只要證明BG=BG′即可．

解答 解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OB=OD=OC，
∵AF⊥BG，
∴∠AOE=∠AFB=90°，
∵∠EAO+∠AE0=90°，∠EBF+∠BEF=90°，
∵∠AEO=∠BEF，
∴∠EAO=∠OBG，
在△AOE和△BOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠OBG}\\{AO=OB}\\{∠AOE=∠BOG}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOG，
∴AE=BG，OE=OG，
故答案為=，=．

（2）如圖2中，結(jié)論：4AE=3BG，

理由：∵四邊形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴AC⊥BD，OA=OC=3，OB=OD=4，
∵AF⊥BG，
∴∠AOE=∠AFB=90°，
∵∠EAO+∠AE0=90°，∠EBF+∠BEF=90°，
∵∠AEO=∠BEF，
∴∠EAO=∠OBG，
∵∠AOE=∠BOG=90°，
∴△AOE∽△BOG，
∴$\frac{AE}{BG}$=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{3}{4}$，
∴4AE=3BG．
（3）如圖3中，OG=3或9時，AE：BG=1：3．

①當(dāng)OG=3時，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC=4，OB=OD=12，
∵OE=1，OG=3，
∴$\frac{OG}{OE}$=3，$\frac{OB}{OA}$=3，
∴$\frac{OG}{OE}$=$\frac{OB}{OA}$，
∵∠BOG=∠AOE，
∴△BOG∽△AOE，
∴$\frac{AE}{BG}$=$\frac{OE}{OG}$=$\frac{1}{3}$．
②當(dāng)OG′=9時，作BK⊥CG′，
∵在RT△BOK中，∵∠BOK=60°，OB=12，∠BKO=90°，
∴OK=$\frac{1}{2}$OB=6，
∴AK=OK-OA=6-4=2，
∵AG′=OG′-OA=5，
∴KG′=3，
∵KG=AK+AG=2+1=3，
∴KG′=KG，
∵BK⊥GG′，
∴BG=BG′，
∴AE：BG′=AE：BG=1：3．
故答案為3或9．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形，第三個問題有兩解，注意考慮問題要全面，屬于中考壓軸題．