Question

3．已知，如圖，?ABCD中，BC=8cm，CD=4cm，∠B=60°，點E從點A出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s．過點E作EF⊥CD，垂足是F，連接EF交AD于點M，過M作MN∥AB，MN與BC交于點N，設運動時間為t（s）（0＜t＜4）
（1）用含t的代數(shù)式表示線段AM的長：AM=2t；
（2）是否存在某一時刻t，使EN⊥BC，求出相應的t值，若不存在，說明理由；
（3）設四邊形AEFN的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關系式；
（4）點P是AC與NF的交點，在點E的運動過程中，是否存在某一時刻t，使∠MNP=45°？若存在，求出相應的t值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）在RT△AEM中，根據(jù)AM=2AE即可解決問題．
（2）在△OMN中，MN=4，∠NOM=90°，∠OMN=60°根據(jù)cos60°=$\frac{MO}{MN}$=$\frac{\frac{3}{2}t}{4}$=$\frac{1}{2}$即可解決問題．
（3）根據(jù)S_{四邊形AEFN}=S_△AEM+S_△AMN+S_△MNF=$\frac{1}{2}$•AE•EM+$\frac{1}{2}$•AM•h+$\frac{1}{2}$•MN•MF即可解決．
（4）可以證明MN=MF，由此列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠EAD=∠ABC=60°，
∵EF⊥CD，
∴EF⊥AB，
在RT△AME中，∵∠AEM=90°，AE=t，∠EMA=30°，
∴AM=2AE=2t，
故答案為2t．
（2）存在，如圖1中，設AM交EN于點O，
∵EN⊥BC，
∴ENB=∠MON=∠AOE=90°，
在△AOE中，∠AOE=90°，∠EAB=60°，AE=t，
∴AO=$\frac{1}{2}$t，OM=$\frac{3}{2}$t，
∵MN∥AB，
易得MN=AB=4，且∠NMA=60°，
在△OMN中，MN=4，∠NOM=90°，∠OMN=60°，
∴cos60°=$\frac{MO}{MN}$=$\frac{\frac{3}{2}t}{4}$=$\frac{1}{2}$．解得t=$\frac{4}{3}$；
（3）如圖1中，由（1），（2）知AE=t，EM=$\sqrt{3}$t，AM=2t，AD與BC之間的距離h為2$\sqrt{3}$，MN=4，
在△MDF中，MD=8-2t，∠D=60°，
∴DF=4-t，MF=$\sqrt{3}$DF=$\sqrt{3}$（4-t），
∴S_{四邊形AEFN}=S_△AEM+S_△AMN+S_△MNF=$\frac{1}{2}$•AE•EM+$\frac{1}{2}$•AM•h+$\frac{1}{2}$•MN•MF
=$\frac{1}{2}$•t•2t+$\frac{1}{2}$•2t•2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$•4•$\sqrt{3}$（4-t）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+8$\sqrt{3}$，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+8$\sqrt{3}$（0＜t＜4）．
（4）如圖1中，∵∠MNP=45°，∠NMF=90°，
∴∠MNF=∠MFN=45°，
∴MN=MF，
∴4=$\sqrt{3}$（4-t），
∴t=4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、平行四邊形的性質、30度角所對的直角邊等于斜邊一半、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是熟練掌握特殊三角形邊角之間的關系，學會分割法求面積，學會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．