Question

11．如圖：拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，直線L與拋物線交于點(diǎn)A，D兩點(diǎn)．
（1）求A，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P做y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，求線段PE長(zhǎng)度最大值．
（3）點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使以A，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．直接寫(xiě)出所有滿足條件的N點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（2）根據(jù)平行于y軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）如圖4中有四種情形，分別根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)或利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0，解得x=-1，x=3（不符合題意，舍），即A（-1，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）．
y=x²-2x-3的對(duì)稱軸為x=1，
由點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，得D（2，-3）；
（2）設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，將A、D坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
y=-x-1．
由P在AD上，E在拋物線上，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x-1），E（x，x²-2x-3），
線段PE：y=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$，線段PE最大=$\frac{9}{4}$；
（3）如圖4中，
，
①當(dāng)M₁N₁∥AD，AN₁∥DM₁時(shí)，AN₁=DM₁=2，此時(shí)N₁坐標(biāo)（-3，0），
②當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)，∵AN₂=DM₂=2，
∴點(diǎn)N₂坐標(biāo)為（1，0），
③當(dāng)AD∥N₃M₃，AD=M₃N₃時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M₃的縱坐標(biāo)為6，當(dāng)AD∥M₄N₄，AD=M₄N₄時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M₄的縱坐標(biāo)為6，
，令y=6，則2x²-4x-6=6，解得x=1±$\sqrt{7}$，
∴M₃（1+$\sqrt{7}$，6），M₄（1-$\sqrt{7}$，0），
直線M₃N₃為：y=-2x+8+2$\sqrt{7}$，直線M₄N₄為：y=-2x+8-2$\sqrt{7}$，
∴N₃（4+$\sqrt{7}$，0），N₄（4-$\sqrt{7}$，0），
綜上所述點(diǎn)N坐標(biāo)為N₁（1，0），N₂（-3，0），N₃（$4+\sqrt{7}$，0），N₄（$4-\sqrt{7}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，學(xué)會(huì)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是會(huì)分類討論，檢驗(yàn)是否符合題意，第三個(gè)問(wèn)題需要畫(huà)出圖形，利用平行四邊形的性質(zhì)會(huì)一次函數(shù)確定點(diǎn)N的坐標(biāo)，屬于中考?jí)狠S題．