Question

5．底邊長為8的等腰三角形內(nèi)接于⊙O中，已知⊙O的半徑為5，求等腰三角形的腰長．

Answer 1

分析 ①當是銳角三角形時；②當該等腰三角形是鈍角三角形時；由垂徑定理可得出BD的長，再根據(jù)勾股定理求出OD的長，進而可得出結(jié)論．

解答 解：①當?shù)妊�三角形是銳角三角形時，如圖1所示：
連接AO并延長交BC于點D，連接OB，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC，
∵BC=8，
∴BD=4，
在Rt△OBD中，
∵OB=5，BD=4，
∴OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴AD=AO+OD=5+3=8，
在Rt△ABD中，
∵BD=4，AD=8，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$；
②當?shù)妊�三角形是鈍角三角形時，如圖2所示：
連接OA交BC于D，連接OB，
同理得：OD=3，
∴AD=OA-OD=2，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
綜上所述，AB的長度是4$\sqrt{5}$或2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查的是三角形的外接圓與外心，垂徑定理，勾股定理；根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵，注意分類討論．