Question

（1）如圖1，點(diǎn)P是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，若S_△PAB=S₁，S_△PBC=S₂，S_△PCD=S₃，S_△PAD=S₄則S₁、S₂、S₃、S₄的關(guān)系為S₁=S₂=S₃=S₄．請(qǐng)你說(shuō)明理由；
（2）變式1：如圖2，點(diǎn)P是平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD．若S_△PAB=S₁，S_△PBC=S₂，S_△PCD=S₃，S_△PAD=S₄，則S₁、S₂、S₃、S₄的關(guān)系為_(kāi)_____；
（3）變式2：如圖3，點(diǎn)P是四邊形ABCD對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)若S_△PAE=S₁，S_△PBC=S₂，S_△PCD=S₃，S_△PAD=S₄，則S₁、S₂、S₃、S₄的關(guān)系為_(kāi)_____．請(qǐng)你說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相互相平分與如果三角形等底等高面積相同，得解；
（2）可以根據(jù)△ABD≌△CDB求得；
（3）由△ABP中AP邊上的高與△BCP中CP邊上的高相同與△PAD中AP邊上的高與△PCD中CP邊上的高相同，可得即，即，所以，即S₁•S₃=S₂•S₄．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AP=CP，
又∵△ABP中AP邊上的高與△BCP中CP邊上的高相同，
∴S_△PAB=S_△PBC，
即S₁=S₂，
同理可證S₂=S₃S₃=S₄，
∴S₁=S₂=S₃=S₄；

（2）S₁+S₃=S₂+S₄；

（3）S₁•S₃=S₂•S₄；
理由：
∵△ABP中AP邊上的高與△BCP中CP邊上的高相同，
∴即，
∵△PAD中AP邊上的高與△PCD中CP邊上的高相同，
∴即，
∴，
∴S₁•S₃=S₂•S₄．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是注意：等底等高的三角形面積相等，等底的三角形的面積比等于高的比，等高的三角形面積的比等于底的比．