Question

【題目】如圖，一塊直角三角板ABC(∠A＝30°)的斜邊AB與一個以r為半徑的圓輪子相靠，若BD＝1，則r等于(　　)

A. 2 B. C. 1.5 D.

Answer 1

【答案】B

【解析】記⊙O與直角三角尺的斜邊切于點E,連結(jié)OB,OE,由已知可求出∠ABC的度數(shù),進而可求出∠ABD的度數(shù)，由已知不難證得△OEB≌△ODB,再利用全等三角形的性質(zhì),結(jié)合直角三角形的兩個銳角互余,求出∠OBD、∠BOD的度數(shù)，在Rt△ODB中,由特殊角所對的直角邊與斜邊的關(guān)系,利用直角三角形的勾股定理即可求解.

記⊙O與△ABC切于點E,連結(jié)OE、OB.

∵ 在Rt△ACB中,∠C=90°,∠A=30°

∴ ∠ABC=60° (直角三角形的兩個銳角互余)

∵ ∠ABC+∠ABD=180°，∠ABC=60°，

∴ ∠ABD=120°，

∵ AB、BD與⊙O分別相切于點E、D.

∴ OE⊥AB OD⊥BD (過切點及圓心的線段垂直于該切線)

∴ △OEB和△ODB是直角三角形 (兩邊相互垂直的三角形是直角三角形)

∵ BE、BD是過點B的⊙O的兩條切線，

∴ BE=BD (切線長定理)

∵ BE=BD OB=OB

∴ Rt△OEB≌Rt△ODB (HL)

∴ ∠OBE=∠OBD (全等三角形的對應(yīng)角相等)

∵ ∠ABD=120° ，∠OBE=∠OBD

∴ ∠OBE=∠OBD=60°

∵ ∠ODB=90° ，∠OBD=60°

∴ ∠BOD=30° (直角三角形的兩個銳角互余)

∵ ∠ODB=90° ，BOD=30°

∴ BD=×OB (在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)

∵ BD=BD=×OB

∴ OB=2，

∵ ∠ODB=90° ，BD=1，OB=2，

∴ OD=(直角三角形勾股定理求值)

即r=

故選：B.