Question

如圖，P為⊙O的直徑AB反向延長線上一點，PQ切⊙O于點Q，若tan∠P=

3

4

，則tan∠B的值為（　�。�

• A、

  1

  3

• B、

  1

  2

• C、

  3

  5

• D、

  4

  5

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義

專題：計算題

分析：連接OQ，AQ，過A作AM⊥PQ，由PQ為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到PQ垂直于OQ，在直角三角形OPQ中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tanP，設OQ=3k，得到PQ=4k，利用勾股定理得到OP=5k，由OP-OA表示出AP，再由一對直角相等，一對公共角，得到三角形APM與三角形OPQ相似，由相似得比例，表示出AM，在直角三角形APM中，利用勾股定理表示出PM，由PQ-PM表示出MQ，由弦切角等于夾弧所對的圓周角得到∠PQA=∠B，可得出tan∠PQA=tanB，在直角三角形AQM中，利用銳角三角函數(shù)定義求出tan∠PQA的值，即為tanB的值．

解答：解：連接OQ，AQ，過A作AM⊥PQ，如圖所示：
∵PQ為圓O的切線，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△OPQ中，tanP=

OQ

PQ

=

3

4

，
設OQ=3k，則PQ=4k，根據(jù)勾股定理得：OP=5k，
AP=OP-OA=5k-3k=2k，
∵∠OQP=∠AMP=90°，∠P=∠P，
∴△APM∽△OPQ，
∴

AM

OQ

=

AP

OP

，
∴AM=

AP•OQ

OP

=

6

5

k，
在Rt△APM中，AP=2k，AM=

6

5

k，
根據(jù)勾股定理得：PM=

AP2-AM2

=

8

5

k，
∴MQ=PQ-PM=4k-

8

5

k=

12

5

k，
∵∠PQA=∠B，
∴tanB=tan∠PQA=

AM

MQ

=

6 5 k

12 5 k

=

1

2

．
故選B

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．