Question

19．如圖1，等邊△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，以CD為邊向上作等邊△CDE，連結(jié)AE．
（1）求證：AE∥BC；
（2）如圖2，若點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，其余條件均不變，（1）中結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件先證出∠BCD=∠ACE，再根據(jù)SAS證出△DBC≌△ACE，得出∠B=∠CAE=∠BAC=60°，從而得出∠B+∠BAE=180，再根據(jù)平行線的判定即可證出AE∥BC；
（2）根據(jù)（1）證出的△DBC≌△ACE，得出∠BDC=∠AEC，在△DMC和△AME中，根據(jù)AA證出△DMC∽△AME，得出∠EAM=∠DCM=60°，再根據(jù)∠DCA+∠CAE=∠DCE+∠ECA+CEA=180°+∠ECA，即可得出AE∥BC．

解答 證明：（1）∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∵△ABC和△DCE是等邊三角形，
∴BC=AC，DC=EC，
在△BDC與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠CAE，
∴∠B=∠CAE=∠BAC=60°，
∴∠CAE+∠BAC=∠BAE=120°，
∴∠B+∠BAE=180，
∴AE∥BC；

（2）成立，證明如下：
∵△DBC≌△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，
在△DMC和△AME中，
∵∠BDC=∠AEC（已證），
∴∠DMC=∠EMA，
∴△DMC∽△EMA，
∴∠EAM=∠DCM=60°，
∴∠EAC=120°，
又∵∠DCA+∠CAE=∠DCE+∠ECA+CEA=180°+∠ECA，
∴AE∥BC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是能證出∠B=∠CAE=∠BAC，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)定理．