Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸，y軸于點A，B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A，B，點P是x軸上一個動點，過點P作垂直于x軸的直線分別交拋物線和直線AB于點E和點F.設點P的橫坐標為m.

(1)求這條拋物線所對應的函數(shù)表達式.

(2)點P在線段OA上時，若以B、E、F為頂點的三角形與△FPA相似，求m的值；

(3)若E、F、P三個點中恰有一點是其它兩點所連線段的中點(三點重合除外)，稱E、F、P三點為“共諸點”.直接寫出E、F、P三點成為“共諸點”時m的值.

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2+x+2；(2)m＝或；(3) -1或-或.

【解析】

（1）交x軸，y軸于點A，B，求出點A、B的坐標，可得c＝2，則拋物線表達式為：y＝﹣x2+bx+2，將點A的坐標代入上式，即可求解；

（2）①當∠EBF為直角時，則tan∠BEF＝，則BE2＝4BF2，根據(jù)勾股定理列方程求解即可；②當∠BEF為直角時，則EF＝BE，與①同理即可求解；

（3）用m可表示出P、F、E的坐標，由題意可知有F為線段PE的中點、P為線段EF的中點或E為線段PF的中點，可分別得到關于m的方程，可求得m的值．

解：（1）把x=0代入，得=2.

把y=0代入，得，∴x=4.

∴點A、B的坐標分別為(4，0)、(0，2)，

∴c＝2，

∴拋物線表達式為：y＝﹣x2+bx+2，

將點A的坐標代入上式得，

0＝﹣16+4b+2，

∴b＝，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+2；

（2）tan∠OAB＝＝，

點P的橫坐標為m，則點E、F的坐標分別為：(m，﹣m2+m+2)、(m，﹣m+2)，

①當∠EBF為直角時，

以B、E、F為頂點的三角形與△FPA相似，則∠BEF＝∠OAB，

則tan∠BEF＝，則BE2＝4BF2，

即：m2+(﹣m2+m+2m﹣2)2＝4[m2+(﹣m+2﹣2)2]，

解得：m＝或(舍去)；

②當∠BEF為直角時，

則EF＝BE，

∴﹣m2+m+2m﹣2=m，

解得

m1=，m2=0（舍去）.

綜上，m＝或；

（3）點P的橫坐標為m，則點P、E、F的坐標分別為：(m，0)、(m，﹣m2+m+2)、(m，﹣m+2)，

∵E、F、P三點為“共諧點”，

∴有F為線段PE的中點、P為線段FE的中點或E為線段PF的中點，

當F為線段PE的中點時，則有2（-m+2）=-m2+m+2，解得m=4（三點重合，舍去）或m=；

當P為線段FE的中點時，則有-m+2+（-m2+m+2）=0，解得m=4（舍去）或m=-1；

當E為線段FP的中點時，則有-m+2=2（-m2+m+2），解得m=4（舍去）或m=-；

綜上可知當E、F、P三點成為“共諧點”時m的值為-1或-或．