Question

已知A是x軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以線(xiàn)段OA為直徑作⊙B，圓心為點(diǎn)B，直徑OA=m，線(xiàn)段EF是⊙B的一條弦，EF∥x軸，點(diǎn)C為劣弧EF的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作DE垂直于EF，交拋物線(xiàn)C₁：y=ax²+bx（a＞0）于點(diǎn)G，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)O和點(diǎn)A．
（1）求證：DG=m；
（2）拖動(dòng)點(diǎn)A，如果拋物線(xiàn)C₁與⊙B除點(diǎn)O和點(diǎn)A外有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求b的值；
（3）拖動(dòng)點(diǎn)A，拋物線(xiàn)C₁交⊙B于點(diǎn)O、E、F、A，
①求證：DE=m-

2

a

；
②直接寫(xiě)出FC²的值（用a，m的代數(shù)式表示）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,三角形中位線(xiàn)定理,圓的綜合題,相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：壓軸題

分析：（1）連接BC、EC、FG，如圖1，只需證到DC=CF，BG=BF，然后運(yùn)用三角形的中位線(xiàn)定理即可解決問(wèn)題；
（2）由圖可知OA的中垂線(xiàn)是拋物線(xiàn)C₁與⊙B公共的對(duì)稱(chēng)軸，故拋物線(xiàn)C₁與⊙B除點(diǎn)O和點(diǎn)A外唯一交點(diǎn)為C，然后把A、C的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式，消去m，就可求出b的值；
（3）①連接AE，如圖2，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），則OH=x，EH=-y，AH=OA-OH=m-x．易證△OHE∽△EHA，從而可得EH²=OH•AH，則有（-y）²=x（m-x）．由點(diǎn)A在拋物線(xiàn)上可得m=-

b

a

，從而得到y(tǒng)²=x（-

b

a

-x）=-

1

a

（ax²+bx）=-

1

a

y，求得y=-

1

a

，即EH=

1

a

．然后根據(jù)垂徑定理可得GH=EH=

1

a

，即可證到結(jié)論；②只需運(yùn)用割線(xiàn)定理即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）連接BC、EC、FG，如圖1．
∵點(diǎn)C為劣弧EF的中點(diǎn)，
∴EC=FC，
∴∠CEF=∠CFE．
∵DE⊥EF，即∠DEF=90°，
∴∠DEC+∠CEF=90°，∠EDF+∠DFE=90°，
∴∠DEC=∠EDF，
∴CE=CD，
∴CD=CF．
∵∠GEF=180°-∠DEF=90°，
∴GF是⊙B的直徑，即BG=BF，
根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理可得DG=2BC=OA=m；

（2）由圖可知：OA的中垂線(xiàn)是拋物線(xiàn)C₁與⊙B公共的對(duì)稱(chēng)軸，
若拋物線(xiàn)C₁與⊙B除點(diǎn)O和點(diǎn)A外有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
則該交點(diǎn)必在OA的中垂線(xiàn)上，即點(diǎn)C．
∵A（m，0），C（

m

2

，-

m

2

），
∴

am2+bm=0① a( m 2 )2+ m 2 •b=- m 2 ②

，
由①得m₁=0（舍去），m₂=-

b

a

，
把m=-

b

a

代入②并整理得：b²+2b=0，
解得：b₁=0（舍去），b₂=-2．
∴b的值為-2．

（3）①證明：連接AE，如圖2．
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），
則OH=x，EH=-y，AH=OA-OH=m-x．
∵EF∥OA，DG⊥EF，∴DG⊥OA，
∴∠OHE=∠EHA=90°．
∵OA是⊙B的直徑，∴∠OEA=90°，
∴∠OEH=∠EAH=90°-∠HEA，
∴△OHE∽△EHA，
∴

EH

AH

=

OH

EH

，即EH²=OH•AH，
∴（-y）²=x（m-x）．
∵點(diǎn)A（m，0）在拋物線(xiàn)y=ax²+bx上，
∴am²+bm=0．
∵m≠0，∴m=-

b

a

，
∴y²=x（-

b

a

-x）=-

1

a

（ax²+bx）=-

1

a

y．
∵y≠0，∴y=-

1

a

，即EH=

1

a

．
∵直徑OA⊥EG，∴GH=EH=

1

a

，
∴DE=DG-EH-GH=m-

2

a

；
②根據(jù)割線(xiàn)定理可得：DE•DG=DC•DF，
∴（m-

2

a

）•m=CF•2CF，
∴FC²=

1

2

（m-

2

a

）•m=

m2

2

-

m

a

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓周角定理、軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、拋物線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、割線(xiàn)定理、垂徑定理、三角形中位線(xiàn)定理等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，推出點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上是解決第（2）小題的關(guān)鍵，證到EH²=OH•AH是解決第（3）①小題的關(guān)鍵，運(yùn)用割線(xiàn)定理是解決第（3）②小題的關(guān)鍵．