(2012•寧波)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A(-1,0),B(2,0),交y軸于C(0,-2),過(guò)A,C畫(huà)直線(xiàn).
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)點(diǎn)P在x軸正半軸上,且PA=PC,求OP的長(zhǎng);
(3)點(diǎn)M在二次函數(shù)圖象上,以M為圓心的圓與直線(xiàn)AC相切,切點(diǎn)為H.
①若M在y軸右側(cè),且△CHM∽△AOC(點(diǎn)C與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
②若⊙M的半徑為
4
5
5
,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
分析:(1)根據(jù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的坐標(biāo),設(shè)出二次函數(shù)交點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a(x+1)(x-2),然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入計(jì)算求出a的值,即可得到二次函數(shù)解析式;
(2)設(shè)OP=x,然后表示出PC、PA的長(zhǎng)度,在Rt△POC中,利用勾股定理列式,然后解方程即可;
(3)①根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠MCH=∠CAO,然后分(i)點(diǎn)H在點(diǎn)C下方時(shí),利用同位角相等,兩直線(xiàn)平行判定CM∥x軸,從而得到點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同,是-2,代入拋物線(xiàn)解析式計(jì)算即可;(ii)點(diǎn)H在點(diǎn)C上方時(shí),根據(jù)(2)的結(jié)論,點(diǎn)M為直線(xiàn)PC與拋物線(xiàn)的另一交點(diǎn),求出直線(xiàn)PC的解析式,與拋物線(xiàn)的解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo);
②在x軸上取一點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,可以證明△AED和△AOC相似,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到AD的長(zhǎng)度,然后分點(diǎn)D在點(diǎn)A的左邊與右邊兩種情況求出OD的長(zhǎng)度,從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo),再作直線(xiàn)DM∥AC,然后求出直線(xiàn)DM的解析式,與拋物線(xiàn)解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo).
解答:解:(1)設(shè)該二次函數(shù)的解析式為:y=a(x+1)(x-2),
將x=0,y=-2代入,得-2=a(0+1)(0-2),
解得a=1,
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=(x+1)(x-2),
即y=x2-x-2;

(2)設(shè)OP=x,則PC=PA=x+1,
在Rt△POC中,由勾股定理,得x2+22=(x+1)2,
解得,x=
3
2

即OP=
3
2


(3)①∵△CHM∽△AOC,
∴∠MCH=∠CAO,
(i)如圖1,當(dāng)H在點(diǎn)C下方時(shí),
∵∠MCH=∠CAO,
∴CM∥x軸,
∴yM=-2,
∴x2-x-2=-2,
解得x1=0(舍去),x2=1,
∴M(1,-2),
(ii)如圖1,當(dāng)H在點(diǎn)C上方時(shí),
∵∠MCH=∠CAO,
∴PA=PC,由(2)得,M′為直線(xiàn)CP與拋物線(xiàn)的另一交點(diǎn),
設(shè)直線(xiàn)CM的解析式為y=kx-2,
把P(
3
2
,0)的坐標(biāo)代入,得
3
2
k-2=0,
解得k=
4
3
,
∴y=
4
3
x-2,
4
3
x-2=x2-x-2,
解得x1=0(舍去),x2=
7
3
,
此時(shí)y=
4
3
×
7
3
-2=
10
9
,
∴M′(
7
3
,
10
9
),

②在x軸上取一點(diǎn)D,如圖(備用圖),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,使DE=
4
5
5
,
在Rt△AOC中,AC=
AO2+CO2
=
12+22
=
5
,
∵∠COA=∠DEA=90°,∠OAC=∠EAD,
∴△AED∽△AOC,
AD
AC
=
DE
OC
,
AD
5
=
4
5
5
2
,
解得AD=2,
∴D(1,0)或D(-3,0).
過(guò)點(diǎn)D作DM∥AC,交拋物線(xiàn)于M,如圖(備用圖)
則直線(xiàn)DM的解析式為:y=-2x+2或y=-2x-6,
當(dāng)-2x-6=x2-x-2時(shí),即x2+x+4=0,方程無(wú)實(shí)數(shù)根,
當(dāng)-2x+2=x2-x-2時(shí),即x2+x-4=0,解得x1=
-1-
17
2
,x2=
-1+
17
2
,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(
-1-
17
2
,3+
17
)或(
-1+
17
2
,3-
17
).
點(diǎn)評(píng):本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查,主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,勾股定理,相似三角形的性質(zhì),兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的求解方法,綜合性較強(qiáng),難度較大,要注意分情況討論求解.
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12
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