Question

在△ABC中，BC=5，M和I分別為△ABC的重心與內心，若MI∥BC，則AB+AC=________．

Answer 1

10
分析：首先連接AM并延長交BC于點D，連接AI并延長交BC與點F作IE⊥BC于E，AH⊥BC于H，則IE為內切圓I的半徑．根據三角形重心的性質及相似三角形的性質易得到==，即AH=3r．再利用三角形的面積計算公式s△ABC=BC•AH=（AB+BC+CA）•r，故BC•3r=（AB+BC+CA）•r，即2BC=AB+CA即可得出答案．
解答：解：連接AM并延長交BC于點D，連接AI并延長交BC與點F作IE⊥BC于E，AH⊥BC于H，
則IE為內切圓I的半徑，
設IE=r．
∵IM∥BC，
∴==，即AH=3r．
∵s△ABC=BC•AH=（AB+BC+CA）•r，
故BC•3r=（AB+BC+CA）•r，
即2BC=AB+CA=10．
故答案為：10．
點評：本題考查了三角形的五心．本題綜合性較強，考查知識點較深，是競賽類題目的首選，解決本題的關鍵是掌握三角形五心的性質．