Question

如圖，拋物線y₁=a（x+2）²+c與y₂=

1

2

（x-3）²+b交于點(diǎn)A（1，3），且拋物線y₁經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)B，C．則下列結(jié)論中，正確的是（　�。�

• A、c=4a
• B、a=1
• C、當(dāng)x=0時(shí)，y₂-y₁=4
• D、2AB=3AC

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：把點(diǎn)A坐標(biāo)與原點(diǎn)坐標(biāo)代入y₁，求出a、c的值，即可得到函數(shù)解析式，把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y₂，求出b的值，即可得到函數(shù)解析式，判定A、B錯(cuò)誤；令x=0，求出y₂與y軸的交點(diǎn)，判定C錯(cuò)誤；令y=3，求出A、B、C的橫坐標(biāo)，然后求出AB、AC的長(zhǎng)，判定D正確．

解答：解：∵y₁=a（x+2）²+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，3）與原點(diǎn)，
∴

9a+c=3 4a+c=0

，
解得

a= 3 5 c=- 12 5

，
∴c=-4a，故A、B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
y₁=

3

5

（x+2）²-

12

5

，
∵y₂=

1

2

（x-3）²+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，3），
∴

1

2

（1-3）²+b=3，
解得b=1，
∴y₂=

1

2

（x-3）²+1，
當(dāng)x=0時(shí)，y=

1

2

（0-3）²+1=5.5，
此時(shí)y₂-y₁=5.5，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)B，C，
∴令y=3，則

3

5

（x+2）²-

12

5

=3，
整理得，（x+2）²=9，
解得x₁=-5，x₂=1，
∴AB=1-（-5）=6，

1

2

（x-3）²+1=3，
整理得，（x-3）²=4，
解得x₁=5，x₂=1，
∴AC=5-1=4，
∴2AB=3AC，故D選項(xiàng)正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，已知函數(shù)值求自變量的值．