【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于點E.在△ABC外有一點F,使FA⊥AE,F(xiàn)C⊥BC.
(1)求證:BE=CF;
(2)在AB上取一點M,使BM=2DE,連接MC,交AD于點N,連接ME.求證:①ME⊥BC;②DE=DN.
【答案】(1)證明見解析;(2)①證明見解析;②證明見解析.
【解析】
試題(1)通過角的轉(zhuǎn)換和等腰直角三角形的性質(zhì),得到∠BAE=∠CAF和∠B=∠FCA,從而ASA證明△ABF≌△ACF,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到結(jié)論.
(2)①過E點作EG⊥AB于點G,通過證明EG是BM的垂直平分線就易得出結(jié)論.
②通過證明Rt△AMC≌Rt△EMC和△ADE≌△CDN來證明結(jié)論.
試題解析:(1)如圖,∵∠BAC=90°,F(xiàn)A⊥AE,∴∠1+∠EAC=90°,∠2+∠EAC=90°.
∴∠1=∠2.
又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°.
∵FC⊥BC,∴∠FCA=90°-∠ACB=45°.∴∠B=∠FCA.
∴△ABF≌△ACF(ASA).∴BE=CF.
(2)①如圖,過E點作EG⊥AB于點G,
∵∠B=45°,∴△CBE是等腰直角三角形.∴BG=EG,∠3=45°.
∵BM=2DE,∴BM=2BG,即點G是BM的中點.∴EG是BM的垂直平分線.∴∠4=∠3=45°.
∴∠MEB=∠4+∠3=90°.∴ME⊥BC.
②∵AD⊥BC,∴ME∥AD.∴∠5=∠6.
∵∠1=∠5,∴∠1=∠6.∴AM=EM.
∵MC=MC,∴Rt△AMC≌Rt△EMC(HL).∴∠7=∠8.
∵∠BAC=90°,,AB=AC,∴∠ACB=45°,∠BAD=∠CAD=45°.
∴∠5=∠7=22.5°,AD=CD.
∵∠ADE=∠CDN=90°,∴△ADE≌△CDN(ASA).∴DE=DN.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分別與⊙O相切于E,F(xiàn),G三點,過點D作⊙O的切線BC于點M,切點為N,則DM的長為( )
A.
B.
C.
D.2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成,長方形的長是12m,寬是4m.按照圖中所示的直角坐標(biāo)系,拋物線可以用y=﹣ x2+bx+c表示,且拋物線的點C到墻面OB的水平距離為3m時,到地面OA的距離為 m.
(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式,并計算出拱頂D到地面OA的距離;
(2)一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為6m,寬為4m,如果隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道,那么這輛貨車能否安全通過?
(3)在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈,使它們離地面的高度相等,如果燈離地面的高度不超過8m,那么兩排燈的水平距離最小是多少米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有一組有規(guī)律排列的數(shù):1、﹣1、、﹣、、﹣、1、﹣1、、﹣、、﹣…其中,1、﹣1、、﹣、、﹣這六個數(shù)按此規(guī)律重復(fù)出現(xiàn),問:
(1)第50個數(shù)是什么數(shù)?
(2)把從第1個數(shù)開始的前2017個數(shù)相加,結(jié)果是多少?
(3)從第1個數(shù)起,把連續(xù)若干個數(shù)的平方加起來,如果和為520,則共有多少個數(shù)的平方相加?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,∠A′B′C′可以由△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到,其中點A′與點A是對應(yīng)點,點B′與點B是對應(yīng)點,連接AB′,且A、B′、A′在同一條直線上,則AA′的長為( )
A.4
B.6
C.3
D.3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若a=0.32,b=﹣3﹣2,c=,d=,則它們的大小關(guān)系是( 。
A. a<b<c<d B. b<a<d<c C. a<d<c<b D. c<a<d<b
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,AB是⊙O的直徑,點C是 的中點,∠COB=60°,過點C作CE⊥AD,交AD的延長線于點E
(1)求證:CE為⊙O的切線;
(2)判斷四邊形AOCD是否為菱形?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)過點A,BD⊥直線m, CE⊥直線m,垂足分別為點D、E.證明:DE=BD+CE.
(2) 如圖(2),將(1)中的條件改為:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三點都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.
(3)拓展與應(yīng)用:如圖(3),D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點(D、A、E三點互不重合),點F為∠BAC平分線上的一點,且△ABF和△ACF均為等邊三角形,連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,試判斷△DEF的形狀.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°。
①當(dāng)點D在AC上時,如圖1,線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?寫出你猜想的結(jié)論,并說明理由;
②將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<90°),如圖2,線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?請說明理由。
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