Question

如圖，AB是半圓O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點C，BD⊥PD，垂足為D，連接BC．

（1）求證：BC平分∠PDB；

（2）求證：BC²=AB•BD；

（3）若PA=6，PC=6，求BD的長．

Answer 1

考點：

切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．

專題：

計算題．

分析：

（1）連接OC，由PD為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC與BD平行，利用兩直線平行得到一對內(nèi)錯角相等，再由OC=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換即可得證；

（2）連接AC，由AB為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到△ABC為直角三角形，根據(jù)一對直角相等，以及第一問的結(jié)論得到一對角相等，確定出△ABC與△BCD相似，由相似得比例，變形即可得證；

（3）由切割線定理列出關(guān)系式，將PA，PC的長代入求出PB的長，由PB﹣PA求出AB的長，確定出圓的半徑，由OC與BD平行得到△PCO與△DPB相似，由相似得比例，將OC，OP，以及PB的長代入即可求出BD的長．

解答：

（1）證明：連接OC，

∵PD為圓O的切線，

∴OC⊥PD，

∵BD⊥PD，

∴OC∥BD，

∴∠OCB=∠CBD，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∴∠CBD=∠OBC，

則BC平分∠PBD；

（2）證明：連接AC，

∵AB為圓O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，

∴△ABC∽△CBD，

∴=，即BC²=AB•BD；

（3）解：∵PC為圓O的切線，PAB為割線，

∴PC²=PA•PB，即72=6PB，

解得：PB=12，

∴AB=PB﹣PA=12﹣6=6，

∴OC=3，PO=PA+AO=9，

∵△OCP∽△BDP，

∴=，即=，

則BD=4．

點評：

此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．