Question

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，AB為直徑，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切線(xiàn)，ED⊥AB于點(diǎn)F．

(1)判斷△DCE的形狀；

(2)設(shè)⊙O的半徑為1，且OF＝，求證：△DCE≌△OCB．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)中猜想△CDE為等腰三角形，從而需證明∠CED＝∠DCE，由已知易知∠CED＝∠DCE＝30°．(2)中欲證的兩三角形均為等腰三角形，且底角均為30°，只需再找出一組對(duì)應(yīng)邊相等． 　　解：(1)因?yàn)锳B為直徑， 　　所以∠ACB＝90°． 　　因?yàn)椤螦BC＝30°，所以∠BAC＝60°． 　　又因?yàn)镺A＝OC，所以△AOC是正三角形． 　　因?yàn)镃D是切線(xiàn)，所以∠OCD＝90°． 　　所以∠DCE＝180°－60°－90°＝30°． 　　因?yàn)镋D⊥AB于點(diǎn)F，所以∠CED＝90°－∠BAC＝30°． 　　所以∠DCE＝∠CED．故△DCE為等腰三角形． 　　(2)證明：在△ABC中，因?yàn)锳B＝2，AC＝AO＝1， 　　所以BC＝＝． 　　因?yàn)镺F＝，所以AF＝AO＋OF＝． 　　又因?yàn)椤螦EF＝30°，所以AE＝2AF＝＋1． 　　所以CE＝AE－AC＝＝BC． 　　而∠OCB＝∠ACB－∠ACO＝90°－60°＝30°＝∠ABC， 　　故△CDE≌△COB． 　　點(diǎn)評(píng)：本題是圓的切線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定的綜合應(yīng)用．遇到圓的切線(xiàn)，連接過(guò)切點(diǎn)的半徑是重要的輔助線(xiàn)．