Question

如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，且BE=

1

3

BC，連接AE、AC，又BH⊥AE于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，交DC于點(diǎn)H．
（1）求證：AB²=AF•AE；
（2）求

AF

EF

的值及tan∠EAC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明△ABF∽△AEB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可證得；
（2）設(shè)BE=x，則EC=3x，BC=4x，則正方形ABCD的邊長都是4x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理，利用x表示出AF和EF的長，即可求得二者的比值；作CI⊥AE于點(diǎn)I，根據(jù)△ABE∽△CIE，利用x表示出CI和AI的長，即可求得三角函數(shù)值．

解答：（1）證明：∵BH⊥AE，
∴∠BFE=90°，
又∵正方形ABCD中，∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠BFE，
又∵∠BAF=∠BAF，
∴△ABF∽△AEB，
∴

AB

AE

=

AF

AB

，即AB²=AF•AE；

（2）解：設(shè)BE=x，則EC=3x，BC=4x，則正方形ABCD的邊長都是4x，
∵△ABF∽△AEB，
∴

AF

BF

=

AB

BE

=

4x

x

=4，
設(shè)BF=y，則AF=4y，
在直角△ABF中，根據(jù)勾股定理得：y²+（4y）²=（4x）²，
解得：y=

4 17

17

x，則AF=

16 17

17

，BF=

4 17

17

，
又∵在直角△BEF中，

BF

EF

=

AB

BE

=4，
∴EF=

17

17

，
則

AF

EF

16 17 17

17 17

=16；
在直角△ABE中，AE=

AB2+BE2

=

(4x)2+x2

=

17

x，
作CI⊥AE于點(diǎn)I．
∵在△ABE和△CIE中，∠ABE=∠I，∠AEB=∠CEI，
∴△ABE∽△CIE，
∴

EI

BE

=

CI

AB

=

AE

CE

，即

EI

x

=

CI

4x

=

17 x

3x

=

17

3

，
∴EI=

17

3

x，CI=

4 17

3

x，
則AI=

17

x+

17

3

x=

4 17

3

，
∴tan∠EAC=

CI

AI

=

4 17 3

4 17 3

=1．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，正確作出輔助線，利用x表示各條線段的長度是關(guān)鍵．