Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=3BE，CE=

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BE，∠DCE=45°，求△BCE與△ADE的面積之比．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：過(guò)C作CF⊥AD于F，延長(zhǎng)AF到G，使FG=BE，連接CG，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠B=90°，求出∠A=∠B=90°，得出四邊形ABCF是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AF=CF=BC=AB=3BE，∠BCF=90°，證△CBE≌△CFG，推出∠1=∠2，CG=CE，求出∠1+∠3=∠DCE，證△DCE≌△DCG，推出DE=DG，即DE=DF+BE，設(shè)DF=x，DE=BE+x，在Rt△AED中，由勾股定理得出（x+BE）²=AE²+AD²，求出x=

3

2

BE，求出AD=

3

2

BE，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．

解答：解：過(guò)C作CF⊥AD于F，延長(zhǎng)AF到G，使FG=BE，連接CG，

∵AB=BC=3BE，CE=

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BE，
∴在△CBE中，BE²+BC²=CE²，
∴∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∵CF⊥AD，
∴∠CFA=90°，
∴四邊形ABCF是正方形，
∴AF=CF=BC=AB=3BE，∠BCF=90°，
在△CBE和△CFG中，

BC=CF ∠B=∠CFG=90° BE=FG

，
∴△CBE≌△CFG（SAS），
∴∠1=∠2，CG=CE，
∵∠DCE=45°，
∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°-45°=45°=∠DCE，
即∠DCG=∠DCE，
在△DCE和△DCG中，

DC=DC ∠DCE=∠DCG CE=CG

，
∴△DCE≌△DCG（SAS），
∴DE=DG，
即DE=DF+BE，
設(shè)DF=x，DE=BE+x，
在Rt△AED中，由勾股定理得：（x+BE）²=AE²+AD²，
則（x+BE）²=（2BE）²+（3BE-x）²，
解得：x=

3

2

BE，
∴AD=3BE-

3

2

BE=

3

2

BE，
∴

S△BCE

S△ADE

=

1 2 ×BE×BC

1 2 ×AD×AE

=

BE×3BE

3 2 BE×2BE

=1，
即△BCE與△ADE的面積之比是1：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的逆定理，正方形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是正確作出輔助線后求出AD=

3

2

BE，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，難度偏大．