Question

4．要求2¹+2²+2³+…+2⁹⁹+2¹⁰⁰的值等于多少，直接求非常困難，因?yàn)槭?¹⁰⁰一個(gè)非常大的數(shù)．因此，我們可以用方程的方法來做．
設(shè)x=2¹+2²+2³+…+2⁹⁹+2¹⁰⁰
則有2x=2（2¹+2²+2³+…+2⁹⁹+2¹⁰⁰）
即2x=2²+2³+…+2¹⁰⁰+2¹⁰¹
作簡(jiǎn)單的變形：2x-x=2²+2³+…+2¹⁰⁰+2¹⁰¹-（2¹+2²+2³+…+2⁹⁹+2¹⁰⁰）
則x=2¹⁰¹-2
請(qǐng)你在理解基礎(chǔ)上，模仿上述方法求下式的值：
（1）1+6+6²+6³+…+6¹⁰⁰
（2）$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{99}}$+$\frac{1}{{2}^{100}}$．

Answer 1

分析 （1）仿照例子，設(shè)x=1+6+6²+6³+…+6¹⁰⁰，則可得出6x=6+6²+6³+…+6¹⁰¹，兩者做差除以5即可得出結(jié)論x=$\frac{{6}^{101}-1}{5}$；
（2）仿照例子，設(shè)x=$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{99}}$+$\frac{1}{{2}^{100}}$，則可得出$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$+$\frac{1}{{2}^{101}}$，兩者做差除以$\frac{1}{2}$即可得出結(jié)論x=1-$\frac{1}{{2}^{100}}$．

解答 解：（1）設(shè)x=1+6+6²+6³+…+6¹⁰⁰，
則有6x=6（1+6+6²+6³+…+6¹⁰⁰），
即6x=6+6²+6³+…+6¹⁰¹，
作簡(jiǎn)單的變形：6x-x=6+6²+6³+…+6¹⁰¹-（1+6+6²+6³+…+6¹⁰⁰），
則x=$\frac{{6}^{101}-1}{5}$．
（2）設(shè)x=$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{99}}$+$\frac{1}{{2}^{100}}$，
則有$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{99}}$+$\frac{1}{{2}^{100}}$），
即$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$+$\frac{1}{{2}^{101}}$，
作簡(jiǎn)單的變形：x-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{99}}$+$\frac{1}{{2}^{100}}$-（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$+$\frac{1}{{2}^{101}}$），
則x=1-$\frac{1}{{2}^{100}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了規(guī)律型中的數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是（1）仿照例子計(jì)算1+6+6²+6³+…+6¹⁰⁰；（2）仿照例子計(jì)算$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{99}}$+$\frac{1}{{2}^{100}}$．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，本題其實(shí)是等比數(shù)列的求和公式，但初中未接觸過該方面的知識(shí)，需要借助于錯(cuò)位相減法來求出結(jié)論．