Question

【題目】如圖，正方形ABCD頂點(diǎn)A，D在⊙O上，邊BC經(jīng)過⊙O上一定P，且PF平分∠AFC，邊 AB，CD分別與⊙O相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF．

（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若FC=2，求PC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OP，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC，

∵PF平分∠AFC，

∴∠AFP=∠PFC，

∵OP=OF，

∴∠AFP=∠OPF，

∴∠PFC=∠OPF，

∴OP∥CD，

∴∠BPO=∠C=90°，

∴OP⊥BC，

∴BC是⊙O的切線；

（2）解：連接AP，∵∠D=90°，∴AF是⊙O的直徑，

∴∠AEF=∠APF=90°，

∴∠BEF=∠B=∠C=90°，

∵OP∥CD，∴OP∥CD∥BA，

∴ ，

∴BP= BC= BA，

∵∠APB+∠FPC=90°，∠PFC+∠FPC=90°，

∴∠APB=∠PFC，

∵∠B=∠C=90°，

∴△APB∽△PFC，

∴ ，∴ ，

∴PC=2FC=4．

【解析】（1）連接OP，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證明∠OPF=∠OFP，然后結(jié)合角平分線的定義可得到∠OPF=∠PFC，接下來，可證明OP∥FC，最后，平行線的性質(zhì)可證明OP⊥BC；
（2）連接AP，首先證明△APB∽△PFC，然后再依據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求解即可.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)，掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題．