Question

已知：直線y=ax+b過拋物線y=-x²-2x+3的頂點P，如圖所示．
（1）頂點P的坐標是______；
（2）若直線y=ax+b經過另一點A（0，11），求出該直線的表達式；
（3）在（2）的條件下，若有一條直線y=mx+n與直線y=ax+b關于x軸成軸對稱，求直線y=mx+n與拋物線y=-x²-2x+3的交點坐標．

Answer 1

解：（1）∵y=-x²-2x+3=-（x ²+2x）+3=-（x+1） ²+4，
∴P點坐標為：（-1，4）；
故答案為：（-1，4）；

（2）將點P（-1，4），A（0，11）代入y=ax+b得：
，
解得：，
∴該直線的表達式為：y=7x+11；

（3）∵直線y=mx+n與直線y=7x+11關于x軸成軸對稱，
∴y=mx+n過點P′（-1，-4），A′（0，-11），
∴，
解得：，
∴y=-7x-11，
∴-7x-11=-x ²-2x+3，
解得：x₁=7，x₂=-2，
此時y₁=-60，y₂=3，
∴直線y=mx+n與拋物線y=-x²-2x+3的交點坐標為：（7，-60），（-2，3）．
分析：（1）利用配方法求出圖象的頂點坐標即可；
（2）利用待定系數法求一次函數解析式即可；
（3）利用關于x軸對稱點的坐標性質，首先求出直線y=mx+n的解析式，進而得出直線y=mx+n與拋物線y=-x²-2x+3的交點坐標．
點評：此題主要考查了二次函數性質以及待定系數法求一次函數解析式和函數交點坐標求法，根據已知得出圖象上對應點坐標是解題關鍵．