Question

【題目】人們?cè)陂L(zhǎng)期的數(shù)學(xué)實(shí)踐中總結(jié)了許多解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，形成了許多光輝的數(shù)學(xué)想法，其中轉(zhuǎn)化思想是中學(xué)教學(xué)中最活躍，最實(shí)用，也是最重要的數(shù)學(xué)思想，例如將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形就是研究圖形問(wèn)題比較常用的一種方法．

問(wèn)題提出：求邊長(zhǎng)分別為、、、的三角形面積．

問(wèn)題解決：

在解答這個(gè)問(wèn)題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫(huà)出邊長(zhǎng)分別為

、、的格點(diǎn)三角形（如圖），是角邊為1和2的直角三角形斜邊，是直角邊分別為1和3的直角三角形的斜邊，是直角邊分別為2和3的直角三角形斜邊，用一個(gè)大長(zhǎng)方形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積，這樣不需求的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算它的面積.

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出圖①中的面積為____________.

（2）類(lèi)比遷移：求邊長(zhǎng)分別為、、的三角形面積（請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格畫(huà)出相應(yīng)的，并求出它的面積）

（3）思維拓展：求邊長(zhǎng)分別為，的三角形的面積

（4）如圖（3），已知，以，為邊向外作正方形，正方形，連接，若，則六邊形 的面積是_________.

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）5ab；（4）31

【解析】

（1）直接利用△ABC所在矩形面積減去周?chē)�三角形面積進(jìn)而得出答案；
（2）利用勾股定理結(jié)合矩形面積減去周?chē)�三角形面積進(jìn)而得出答案；．

（3）結(jié)合（1）（2）易得此三角形的三邊分別是直角邊長(zhǎng)為a，4b的直角三角形的斜邊；直角邊長(zhǎng)為3a，2b的直角三角形的斜邊；直角邊長(zhǎng)為2a，2b的直角三角形的斜邊．用所在矩形減去周?chē)�三角形面積進(jìn)而得出答案；

（4）將圖3的六邊形放入網(wǎng)格圖中，即可發(fā)現(xiàn)其在9×5矩形內(nèi)，用矩形面積減去周邊四個(gè)直角三角形和一個(gè)梯形面積即可得到答案．

解：（1）S△ABC=3×3-×1×2-×1×3-×2×3＝；

故答案為

(2) 如圖2所示：△ABC即為所求

=

=

故答案為3

(3)如圖為邊長(zhǎng)分別為的三角形，

=

=

(4)如圖所示，將六邊形放入網(wǎng)格中，可見(jiàn)其在的矩形內(nèi)，用矩形面積減去周邊四個(gè)直角三角形和一個(gè)梯形的面積可得六邊形的面積

=

=