Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于、兩點（點在點的左側(cè)），將該拋物線位于軸上方曲線記作，將該拋物線位于軸下方部分沿軸翻折，翻折后所得曲線記作，曲線交軸于點，連接、．

（1）求曲線所在拋物線相應的函數(shù)表達式；

（2）求外接圓的半徑；

（3）點為曲線或曲線上的一個動點，點為軸上的一個動點，若以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；(2) ；（3）點的坐標分別為.

【解析】

試題分析：(1) 把化為頂點式，求得該拋物線的頂點坐標和開口方向，由翻折可得曲線所在拋物線的頂點坐標和開口方向，即可得曲線的解析式；（2）先求得外接圓圓心的坐標，再利用勾股定理求得半徑的長即可；（3）分點P位于曲線M上和點P位于曲線N上兩種情況求點Q的坐標即可.

試題解析：（1）因為可化為，

所以拋物線的點的坐標為（1，-4），開口向上，

所以曲線所在拋物線的頂點坐標為（1，4），開口向下，

故曲線所在拋物線相應的函數(shù)表達式為，

即；

（2）因為拋物線交軸于、兩點，

所以A(-1,0),B(3,0),則線段AB的垂直平分線的直線為x=1，

因為曲線交軸于點（0，3），

所以OC=OB,又∠COB=90°，所以線段BC的垂直平分線為直線y=x，

聯(lián)立 ，解得，所以△ABC的外接圓圓心坐標為（1，1），

由勾股定理可得，所以△ABC的外接圓半徑為；

（3）過點C作直線l∥x軸，交曲線M或N于點P，

①當點P位于曲線M上時，

由，解得，

所以CP=,H或CP=；

因為以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，

所以CP∥BQ且CP=BQ,

所以;

②當點P位于曲線N上時，

由，解得(舍去)，

所以CP=2；

因為以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，

所以CP∥BQ且CP=BQ,

所以;

綜上所述，點的坐標分別為.