Question

19．如圖1，拋物線經(jīng)過A（1，0），B（7，0），D（0，$\frac{7}{4}$）三點，以AB為邊在x軸上方作等邊三角形ABC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線x軸上方是否存在點M，使S_△ABM=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$S_△ABC？若存在，請求出點M坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，E是線段AC上的動點，F(xiàn)是線段BC上的動點，AF與BE相交于點P．
①若CE=BF，試猜想AF與BE的數(shù)量關(guān)系，請說明理由，并求出∠APB的度數(shù)；
②若AF=BE，當(dāng)點E由A運動到C時，試求點P經(jīng)過的路徑長．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)出拋物線的解析式，然后將已知點的坐標(biāo)代入求解即可；
（2）過點C作CK⊥x軸，垂足為K．先求得三角形ABC的面積，從而得到△ABM的面積，依據(jù)三角形的面積公式可求得點M的縱坐標(biāo)為4，由點M在拋物線可知可知y=4，從而可求得對應(yīng)的x的值，于是得到點M的坐標(biāo)；
（3）①先證明依據(jù)SAS△BEC≌△AFB，由全等三角形的性質(zhì)可得到AF=BE，接下來證明∠FAB+∠ABP=∠ABC，最后依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠APB的度數(shù)；②如圖3所示：設(shè)$\widehat{AB}$所在圓的圓心為M，點H在圓M上，連接AM、BM、AH、BH，過點M作MG⊥AB，垂足為G．依據(jù)圓的內(nèi)角四邊形的性質(zhì)和圓周角定理可求得∠AMB的長，接下來，依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到AG=3，∠AMG=60°，然后依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得AM的長，最后依據(jù)扇形的弧長公式求解即可；如圖4所示：當(dāng)AE=BF時．依據(jù)SAS可證明△AEB≌△BAF，從而得到∠PAB=∠PBA，故此可知點P在AB的垂直平分線上，最后依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)求得CN的長即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+$\frac{7}{4}$．
∵將點A、B的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{49a+7b+\frac{7}{4}=0}\\{a+b+\frac{7}{4}=0}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{1}{4}$，b=-2，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-2x+$\frac{7}{4}$．
（2）存在點M使得S_△AMB=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$S_△ABC．
如圖1所示：過點C作CK⊥x軸，垂足為K．

∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．
∵CK⊥AB，
∴KA=BK=3，∠ACK=60°．
∴CK=3$\sqrt{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CK=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$．
∴S_△ABM=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$×$9\sqrt{3}$=12．
設(shè)M（x，$\frac{1}{4}$x²-2x+$\frac{7}{4}$）．
∴$\frac{1}{2}$AB•|y_M|=12，即$\frac{1}{2}$×6×（$\frac{1}{4}$x²-2x+$\frac{7}{4}$）=12．
解得x₁=9，x₂=-1．
∴M₁（9，4），M₂（-1，4）．
（3）①AF=BE，∠APB=120°．
理由：如圖2所示；

∵△ABC為等邊三角形，
∴BC=AB，∠C=∠ABF．
∵在△BEC和△AFB中$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠C=∠ABF}\\{CE=BF}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△AFB．
∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．
∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°．
∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=180°-60°=120°．
②如圖3所示：當(dāng)CE=FB時．

∵由①可知：∠APB=120°，
∴點P的運動軌跡是一條�。�
設(shè)$\widehat{AB}$所在圓的圓心為M，點H在圓M上，連接AM、BM、AH、BH，過點M作MG⊥AB，垂足為G．
∵∠APB=120°，
∴∠AHB=60°．
∴∠AMB=120°．
∵AM=MB，MG⊥AB，
∴AG=BG=3，∠AMG=∠BMG=60°．
∴$\frac{AG}{AM}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{3}{AM}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴AM=2$\sqrt{3}$．
∴點P運動的路徑=$\frac{120×π×2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{3}$．
如圖4所示：當(dāng)AE=BF時．

∵在△ABE和△BAF中$\left\{\begin{array}{l}{AE=FB}\\{∠EAB=∠FBA}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BAF．
∴AF=EB，∠FAB=∠EBA．
∴AP=BP．
∴點P在AB的垂直平分線上．
∴點P運動的路線=NC=3$\sqrt{3}$．
∴點P經(jīng)過的路徑長為$\frac{4\sqrt{3}π}{3}$或3$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法則求二次函數(shù)的解析式、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、特殊銳角三角函數(shù)值，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、扇形的弧長公式、線段垂直平分線的判定，根據(jù)題意確定出點P運動的軌跡是解題的關(guān)鍵．