Question

已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDF，其中D、G分別為斜邊AB、EF的中點(diǎn)，連CE，又M為BC中點(diǎn)，N為CE的中點(diǎn)，連MN、MG
（1）如圖1，當(dāng)DE恰好過M點(diǎn)時(shí)，求證：∠NMG=45°，且MG=

2

MN；
（2）如圖2，當(dāng)?shù)妊黂t△EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)時(shí)，第（1）問中的結(jié)論是否仍成立，并證明；
（3）如圖3，連BF，已知P為BF的中點(diǎn)，連CF與PN，若CF=6，直接寫出

PN

CF

=

2

2

．

Answer 1

分析：（1）連接NG、CF，由題意可得CE=CF，易證MCGE四點(diǎn)共圓，即MN=NG，根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系，可得∠MNG=90，即可證得；
（2）連接CF，CD，BE，NG，易證△BDE≌△CDF，則BE=CF，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得MN=NG，∠GNC+∠MNC=90°，即△MNG是等腰直角三角形，即可證得；
（3）連接PD，DM，PD為三角形ABF中位線，PD平行AF，PD=

1

2

AF，在三角形ABC中，DM為中位線，DM=

1

2

AC，MN=

1

2

BE=

1

2

CF，D，M，N共線，DN=

1

2

（BC+CF），BC=AC，DP=DN，三角形DPN是等腰直角三角形，PN/CF=

2

PB

CF

=

2

2

(AC+CF)

CF

=

2

2

（

AC

CF

+1）．

解答：解：（1）連接CF、NG，如圖，
∴D、C、G三點(diǎn)共線，
∴CE=CF，DE⊥BC，
∵M(jìn)N是直角三角形CME斜邊上的中線，
∴MN=

1

2

CE，
又∵NG是三角形CEF的中位線，
∴NG=

1

2

CF，
∴NG=NM；
∴MCGE四點(diǎn)共圓，又∠MEG=45°，
∴∠MNG=90，即三角形MNG為等腰直角三角形，
∴∠NMG=∠NGM=45，MG=

2

MN．

（2）連接CF，CD，BE，NG，如圖，
∵△ABC是等腰直角三角形，CD是底邊中線，
∴CD⊥AB，∠ADC=90°，又∠EDF=90°，∠BDE=∠CDF，
在△BDE和△CDF中，

BD=CD ∠BDE=∠CDF DE=DF

，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴BE=CF，∠BED=∠DFC，
∵在△CBE中，MN是中線，
∴∠MNC=∠BEC，MN=

1

2

BE，
延長EC交DF于P，
∵在△ECF中，GN是中線，
∴GN=

1

2

CF，∠CNG=∠PCF，
∴∠MNC+∠CNG=∠BEC+∠PCF，
=（∠BED+∠DEP）+（∠DPE-∠PFC），
=∠DFC+∠DEP+∠DPE-∠DFC，
=∠DEP+∠DPE，
∵Rt△EDF中，∠EDF=90°，
∴∠DEP+∠DPE=180°-90°=90°，
∴∠MNG=90°，
∴△MNG是直角三角形，
又∵BE=CF，
∴MN=NG，
∴△MNG是等腰直角三角形，
∴∠NMG=∠NGM=45°，MG=

2

MN；

（3）

2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了等腰直角三角形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，要熟練掌握等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)，要注意根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，借助輔助線來解答．