提出問題：如圖，在“兒童節(jié)”前夕，小明和小華分別獲得一塊分布均勻且形狀為等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，小明和小華決定只切一刀將自己的這塊蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力質(zhì)量都一樣）．
背景介紹：這條分割直線既平分了梯形的面積，又平分了梯形的周長，我們稱這條線為梯形的“等分積周線”．
嘗試解決：（1）小明很快就想到了一條分割直線，而且用尺規(guī)作圖作出．請你幫小明在圖1中作出這條“等分積周線”，從而平分蛋糕．
（2）小華覺得小明的方法很好，所以模仿著在自己的蛋糕（圖2）中畫了一條直線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F．你覺得小華會成功嗎？如能成功，說出確定的方法；如不能成功，請說明理由．
（3）通過上面的實(shí)踐，你一定有了更深刻的認(rèn)識．若圖2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．請你找出梯形ABCD的所有“等分積周線”，并簡要的說明確定的方法．

解：（1）作線段AD（或BC）的中垂線即可；

（2）小華不會成功．直線平分梯形ABCD面積，則（AE+BF）AB=（ED+CF）AB，
∴AE+BF=ED+CF，
又∵AB＜CD，
∴此時AE+BF+AB＜ED+CF+CD
∴小華不可能成功；

（3）可求得：S梯形ABCD=18，C梯形ABCD=18，
由（2）可知直線分別交AD、BC于點(diǎn)E、F時不可能，只要分以下幾種情況：
①當(dāng)直線分別交AD、AB于E、F時
有S△AEF≤S△ABD，
又∵S△ABD=6＜9，
∴不可能
同理，當(dāng)直線分別交AD、CD于E、F時S△AEF≤S△ACD＜9，
∴不可能
②當(dāng)直線分別交AB、BC于E、F時
設(shè)BE=x，則BF=9-x
由直線平分梯形面積得：x（9-x）=9
求得：x1=3，x2=6＞4（舍去）
∴BE=3
③當(dāng)直線分別交CD、BC于E、F時
設(shè)CE=x，可得：S△ECF=××（9-x）=9
2x2-18x+45=0
此方程無解，∴不可能
④當(dāng)直線分別交AB、CD于、E、F時
設(shè)CF=x，可得：SBEFC=×（3-）（6-）+=9
∴x1=0，與②同
x2=5，BF=-2，舍去
綜上所述，符合條件的直線共有一條．
分析：（1）作線段AD（或BC）的中垂線即可；
（2）根據(jù)直線平分梯形ABCD面積，則（AE+BF）AB=（ED+CF）AB，利用AB＜CD，即可得出能否成功；
（3）根據(jù)當(dāng)直線分別交AD、AB于E、F時以及當(dāng)直線分別交CD、BC于E、F時，當(dāng)直線分別交AB、CD于、E、F時分別分析即可．
點(diǎn)評：此題主要考查了線段垂直平分線的作法以及平分梯形面積等知識，進(jìn)行分類討論是此題的難點(diǎn)，應(yīng)注意正確合理的分析．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

提出問題：如圖①，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點(diǎn)，△PBC與△ABC和△DBC的面積之間有什么關(guān)系？精英家教網(wǎng)
探究發(fā)現(xiàn)：為了解決這個問題，我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手：
（1）當(dāng)AP=
1
2
AD時（如圖②）：
精英家教網(wǎng)
∵AP=
1
2
AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=
1
2
S△ABD．
∵PD=AD-AP=
1
2
AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=
1
2
S△CDA．
∴S△PBC=S四邊形ABCD-S△ABP-S△CDP
=S四邊形ABCD-
1
2
S△ABD-
1
2
S△CDA
=S四邊形ABCD-
1
2
（S四邊形ABCD-S△DBC）-
1
2
（S四邊形ABCD-S△ABC）
=
1
2
S△DBC+
1
2
S△ABC．
（2）當(dāng)AP=
1
3
AD時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關(guān)系，寫出求解過程；
（3）當(dāng)AP=
1
6
AD時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關(guān)系式為：
 
；
（4）一般地，當(dāng)AP=
1
n
AD（n表示正整數(shù)）時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關(guān)系，寫出求解過程；
問題解決：當(dāng)AP=
m
n
AD（0≤
m
n
≤1）時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關(guān)系式為：
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

提出問題：如圖，在“兒童節(jié)”前夕，小明和小華分別獲得一塊分布均勻且形狀為等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，小明和小華決定只切一刀將自己的這塊蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力質(zhì)量都一樣）．
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背景介紹：這條分割直線既平分了梯形的面積，又平分了梯形的周長，我們稱這條線為梯形的“等分積周線”．
嘗試解決：（1）小明很快就想到了一條分割直線，而且用尺規(guī)作圖作出．請你幫小明在圖1中作出這條“等分積周線”，從而平分蛋糕．
（2）小華覺得小明的方法很好，所以模仿著在自己的蛋糕（圖2）中畫了一條直線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F．你覺得小華會成功嗎？如能成功，說出確定的方法；如不能成功，請說明理由．
（3）通過上面的實(shí)踐，你一定有了更深刻的認(rèn)識．若圖2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．請你找出梯形ABCD的所有“等分積周線”，并簡要的說明確定的方法．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•浦口區(qū)一模）提出問題：
如圖，在△ABC中，∠A=90°，分別以邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，小亮發(fā)現(xiàn)△ABC與△AEG面積相等．小亮思考：這個問題中，如果∠A≠90°，那么△ABC與△AEG面積是否仍然相等？
猜想結(jié)論：
經(jīng)過研究，小亮認(rèn)為：上述問題中，對于任意△ABC，分別以邊AB、AC向外作正方形ABDE 和正方形 ACFG，連接EG，那么△ABC與△AEG面積相等．
證明猜想：
（1）請你幫助小亮畫出圖形，并完成證明過程．已知：以△ABC的兩邊AB、AC為邊長分別向外作正方形ABDE、ACFG，連接GE．求證：S△AEG=S△ABC．
結(jié)論應(yīng)用：
（2）學(xué)校教學(xué)樓前的一個六邊形花圃被分成七個部分，分別種上不同品種的花卉，其中四邊形ABCD、CIHG、GFED均為正方形，且面積分別為9m2、5m2和4m2．求這個六邊形花圃ABIHFE的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

提出問題：如圖，在“兒童節(jié)”前夕，小明和小華分別獲得一塊分布均勻且形狀為等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，小明和小華決定只切一刀將自己的這塊蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力質(zhì)量都一樣）．
背景介紹：這條分割直線既平分了梯形的面積，又平分了梯形的周長，我們稱這條線為梯形的“等分積周線”．
【小題1】小明很快就想到了一條分割直線，而且用尺規(guī)作圖作出.請你幫小明在圖1中作出這條“等分積周線”，從而平分蛋糕．


【小題2】小華覺得小明的方法很好，所以模仿著在自己的蛋糕（圖2）中畫了一條直線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F．你覺得小華會成功嗎？如能成功，說出確定的方法；如不能成功，請說明理由
【小題3】通過上面的實(shí)踐，你一定有了更深刻的認(rèn)識．若圖2中AD∥BC，∠A=90°，AD<BC，AB="4" cm，BC ="6" cm，CD= 5cm.請你找出梯形ABCD的所有“等分積周線”，并簡要的說明確定的方法．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2012年江蘇省九年級中考模擬數(shù)學(xué)試卷2 題型：解答題

提出問題：如圖，在“兒童節(jié)”前夕，小明和小華分別獲得一塊分布均勻且形狀為等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，小明和小華決定只切一刀將自己的這塊蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力質(zhì)量都一樣）．

背景介紹：這條分割直線既平分了梯形的面積，又平分了梯形的周長，我們稱這條線為梯形的“等分積周線”．

1.小明很快就想到了一條分割直線，而且用尺規(guī)作圖作出.請你幫小明在圖1中作出這條“等分積周線”，從而平分蛋糕．

2.小華覺得小明的方法很好，所以模仿著在自己的蛋糕（圖2）中畫了一條直線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F．你覺得小華會成功嗎？如能成功，說出確定的方法；如不能成功，請說明理由

3.通過上面的實(shí)踐，你一定有了更深刻的認(rèn)識．若圖2中AD∥BC，∠A=90°，AD<BC，AB=4 cm，BC =6 cm，CD= 5cm.請你找出梯形ABCD的所有“等分積周線”，并簡要的說明確定的方法．

 

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