Question

10．已知拋物線C₁：y=-$\frac{1}{4}$x²-（a+1）x-a²-4a-1交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），頂點(diǎn)為C．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)值，頂點(diǎn)C總在同一條直線上；
（2）若∠ACB=90°，求此時(shí)拋物線C₁的解析式；
（3）在（2）的條件下，將拋物線C₁沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位得到拋物線C₂，直線y=kx-2k+1交拋物線C₂于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊），交拋物線C₂的對(duì)稱軸于點(diǎn)N，M（x_E，3），若MN=ME，求$\frac{NF}{NE}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用配方法確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，取a=0或-1得到兩個(gè)點(diǎn)，求出經(jīng)過這兩個(gè)點(diǎn)的直線的解析式，證明頂點(diǎn)在這條直線上即可．
（2）根據(jù)題意寫出點(diǎn)B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（3）思想確定點(diǎn)N坐標(biāo)，作FP⊥對(duì)稱軸于P，EQ⊥對(duì)稱軸于Q，設(shè)M（m，3），則E（m，-$\frac{1}{4}$m²+m+1），列出方程求出m的值，再求出E、F兩點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題．

解答 （1）證明：配方得y=-$\frac{1}{4}$（x+2+2a）²-2a，
∴頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（-2-2a，-2a），
當(dāng)a=0時(shí)，頂點(diǎn)為（-2，0），當(dāng)a=-1時(shí)，頂點(diǎn)為（0，2），
設(shè)經(jīng)過（-2，0），（0，2）兩點(diǎn)的直線為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線解析式為y=x+2，
∵x=-2-2a時(shí)，y=-2a，
∴不論a為何實(shí)數(shù)值，頂點(diǎn)C總在直線y=x+2上．

（2）解：由題意B（-2-4a，0）代入y=-$\frac{1}{4}$x²-（a+1）x-a²-4a-1，
得到，0=-$\frac{1}{4}$（-2-4a）²-（a+1）（-2-4a）-a²-4a-1，
整理得，a²+2a=0，
解得a=-2或0，
a=0時(shí)，拋物線為y=-$\frac{1}{4}$x²-x-1，與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意舍棄．
∴a=-2，此時(shí)拋物線解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+x+3．

（3）解：由題意拋物線C₂：y=-$\frac{1}{4}$x²+x+1=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+2，
∴頂點(diǎn)為（2，2），
∵直線y=kx-2k+1，經(jīng)過定點(diǎn)（2，1），
點(diǎn)（2，1）在對(duì)稱軸上，
∴點(diǎn)N坐標(biāo)為（2，1），
作FP⊥對(duì)稱軸于P，EQ⊥對(duì)稱軸于Q，設(shè)M（m，3），則E（m，-$\frac{1}{4}$m²+m+1），
∵M(jìn)N=ME，
∴3-（-$\frac{1}{4}$m²+m+1）=$\sqrt{（m-2）^{2}+{2}^{2}}$，
解得m=2-2$\sqrt{3}$（不符合題意的根已經(jīng)舍棄），
∴點(diǎn)E（2-2$\sqrt{3}$，-1）代入y=kx-2k+1得到k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2-2\sqrt{3}}\\{y=-1}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{y=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)F（2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{5}{3}$），
∴EQ=2$\sqrt{3}$，PF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵EQ∥PF，
∴$\frac{NF}{EN}$=$\frac{PF}{EQ}$，
∴$\frac{NF}{EN}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．