Question

19．如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上點C，并且OA=OB，CA=CB．
（1）求證：直線AB是⊙O切線．
（2）OA、OB分別交⊙O于D、E，延長線AO交⊙O于點F，連接EF、FC．若AB=4，tan∠CFE=$\frac{1}{3}$，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，證明OC⊥AB即可；
（2）先證明∠AFC=∠CFE，連接CD，可證明△ADC∽△ACF，利用相似三角形的性質(zhì)可求得$\frac{AD}{AC}$=$\frac{CD}{CF}$，則可求得AD．

解答 （1）證明：
如圖1，連接OC，

∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB，且OC為圓的半徑，
∴AB是圓的切線；
（2）解：如圖2，連接OC、CD，

由（1）可知∠COD=∠EOC，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{CE}$，
∴∠DFC=∠CFE，
∵DE為直徑，
∴∠DCF為直角三角形，
∴$\frac{DC}{CF}$=tan∠DFC=tan∠CFE=$\frac{1}{3}$，
由（1）可知AC為⊙O的切線，
∴∠ACD=∠AFC，且∠A=∠A，
∴△ACD∽△ACF，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DC}{CF}$=$\frac{1}{3}$，
∵AB=4，
∴AC=2，
∴$\frac{AD}{2}$=$\frac{1}{3}$，解得AD=$\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查切線的判定及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握切線的判定方法是解題的關(guān)鍵，即有切點時連接圓心和切點，然后證明垂直，沒有切點時，過圓心作垂直，證明圓心到直線的距離等于半徑．在（2）中把三角函數(shù)值化為線段的比是解題的關(guān)鍵．