Question

如圖，H是⊙O的內接銳角△ABC的高線AD、BE的交點，過點A引⊙O的切線，與BE的延長線相交于點P，若AB的長是關于x的方程x²-6

3

x+36（cos²C-cosC+1）=0的實數根．
（1）求：∠C=

 

度；AB的長等于

 

（直接寫出結果）；
（2）若BP=9，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）關于x的方程有實根，則△=（-6

3

）²-4×1×36（cos²C-cosC+1）≥0，化簡得：（2cosC-1）²≤0，只有2cosC-1=0，則∠C=60°，此時方程有相等的根，AB+AB=6

3

；
（2）已知∠C=60°，則再證明△ABC中一個角為60°，則可知△ABC為等邊三角形．

解答：解：（1）∠C=60°，AB=3

3

；

（2）結論：△ABC是等邊三角形（1分）
∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠P+∠PAC=∠BAD+∠ABC=90°
又∵PA切⊙O于A，
∴∠PAC=∠ABC
∴∠P=∠BAD
而∠PBA=∠ABH，
∴△PBA∽△ABH
∴

PB

AB

=

AB

BH

∴當PB=9時，BH=

AB2

PB

=3（2分）
在Rt△BHD中，BD=BH•cos30°=

3

2

3

在Rt△ABD中，cos∠ABD=

BD

AB

=

1

2

，
∴∠ABD=60°
即∠ABC=60°
∵∠C=60°
∴△ABC是等邊三角形．

點評：此題作為壓軸題，綜合考查函數、方程與圓的切線，三角形相似的判定與性質等知識．此題是一個大綜合題，難度較大，有利于培養(yǎng)同學們的鉆研精神和堅韌不拔的意志品質．