Question

（2013•普陀區(qū)二模）如圖，拋物線y=x²+bx-c經(jīng)過(guò)直線y=x-3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使S_△APC：S_△ACD=5：4的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M為平面直角坐標(biāo)系上一點(diǎn)，寫出使點(diǎn)M、A、B、D為平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）對(duì)于一次函數(shù)y=x-3，分別令x與y為0求出對(duì)應(yīng)y與x的值，確定出A與B的坐標(biāo)，代入拋物線解析式得到關(guān)于b與c的方程組，求出方程組的解得到b與c的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式求出C與D坐標(biāo)，根據(jù)P為拋物線上的點(diǎn)，設(shè)P（a，a²-2a-3），三角形APC由AC為底，P縱坐標(biāo)絕對(duì)值為高，利用三角形面積表示出，三角形ACD面積由AC為底，D縱坐標(biāo)絕對(duì)值為高表示出，根據(jù)題意列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可確定出此時(shí)P的坐標(biāo)；
（3）畫出圖形，如圖所示，根據(jù)題意得到A、B、C分別為M₁M₃、M₁M₂、M₂M₃的中點(diǎn)，由四邊形ADBM₁為平行四邊形，利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分得到AB與M₁D互相平分，即E為AB中點(diǎn)，E為M₁D中點(diǎn)，根據(jù)A與B的坐標(biāo)求出E的坐標(biāo)，再利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M₁坐標(biāo)；進(jìn)而求出M₂、M₃的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵直線y=x-3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，
∴點(diǎn)B（0，-3），點(diǎn)A（3，0），
將A與B坐標(biāo)代入拋物線y=x²+bx-c得：

-c=-3 9+3b-c=0

，
解得：c=3，b=-2，
則拋物線的解析式是y=x²-2x-3；

（2）∵拋物線的解析式是y=x²-2x-3，
∴C（-1，0），頂點(diǎn)D（1，-4），
由點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，故設(shè)點(diǎn)P（a，a²-2a-3），
∵S_△APC：S_△ACD=5：4，
∴（

1

2

×4×|a²-2a-3|）：（

1

2

×4×4）=5：4，
整理得：a²-2a-3=5或a²-2a-3=-5（由△＜0，得到無(wú)實(shí)數(shù)解，舍去），
解得：a₁=4，a₂=-2，
則滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（4，5），P₂（-2，5）；

（3）如圖所示，A、B、C分別為M₁M₃、M₁M₂、M₂M₃的中點(diǎn)，
∵四邊形ADBM₁為平行四邊形，
∴AB與M₁D互相平分，即E為AB中點(diǎn)，E為M₁D中點(diǎn)，
∵A（3，0），B（0，-3），
∴E（

3

2

，-

3

2

），
又∵D（1，-4），
∴M₁（2，1），
∴M₂（-2，-7），M₃（4，-1），
則滿足題意點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M₁（2，1），M₂（-2，-7），M₃（4，-1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：平行四邊形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．