Question

如圖，AB是⊙O直徑，AC是弦，OE⊥AC于點E，過A作⊙O的切線DA，DA與OE的延長線交于點D，連接DC，BC．
（1）填空：OE與BC的位置關(guān)系是

 

．OE與BC的數(shù)量關(guān)系是

 

．
（2）求證：DC是⊙O的切線．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）由OE⊥AC，易得OE是△ABC的中位線，則可求得OE與BC的位置與數(shù)量關(guān)系；
（2）首先連接OC，由OE⊥AC，易得∠AOD=∠COD，則可證得△DAO≌△DCO，繼而證得∠DCO=∠DAO=90°，即可得DC是⊙O的切線．

解答：解：（1）∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∵OA=OB，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE∥BC，OE=

1

2

BC；
故答案為：OE∥BC，OE=

1

2

BC；

（2）連接OC，設(shè)OD與⊙O交于點F，
∵DA是⊙O的切線，
∴OA⊥AD，
即∠DAO=90°，
∵OE⊥AC，
∴

AF

=

FC

，
∴∠AOD=∠COD，
在△DAO和△DCO中，

OA=OC ∠AOD=∠COD OD=OD

，
∴△DAO≌△DCO（SAS），
∴∠DCO=∠DAO=90°，
∴DC是⊙O的切線．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)與判定、三角形中位線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．