Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線交AD、BC于點(diǎn)E、F，AC與EF交于點(diǎn)O，連結(jié)AF、CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AB=3，AD=4，求菱形AFCE的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵EF是AC的垂直平分線，

∴AO=CO，∠EOA=∠FOC=90°，

在△AEO和△CFO中， ，

∴△AEO≌△CFO（ASA），

∴AE=CF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

又∵AC⊥EF，

∴四邊形AFCE是菱形

（2）解：∵四邊形AFCE是菱形，

∴AF=CF，

設(shè)AF=CF=x，則BF=4﹣x，

在Rt△ABF中，AF2=AB2+BF2，

即x2=32+（4﹣x）2，

解得 x= ，

∴菱形AFCE的邊長(zhǎng)為

【解析】（1）由矩形的性質(zhì)得出AD∥BC，∠EAO=∠FCO，證明△AEO≌△CFO，得出AE=CF，證出四邊形AFCE是平行四邊形，再由對(duì)角線AC⊥EF，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)AF=CF=x，則BF=4﹣x，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．