Question

如圖1，在等邊△ABC中，點D是邊AC的中點，點P是線段DC上的動點（點P與點C不重合），連接BP．將△ABP繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△A₁B₁P，連接AA₁，射線AA₁分別交射線PB、射線B₁B于點E、F．
（1）如圖1，當0°＜α＜60°時，在α角變化過程中，△BEF與△AEP始終存在

 

關系（填“相似”或“全等”），并說明理由；
（2）如圖2，設∠ABP=β．當60°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數(shù)量關系；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，當α=60°時，點E、F與點B重合．已知AB=4，設DP=x，△A₁BB₁的面積為S，求S關于x的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析：（1）通過證明∠PAE=∠EBF，結(jié)合公共角證明即可；
（2）根據(jù)AA易得：△BEF∽△AEP，結(jié)合一組對應邊相等的相似圖形全等，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知；
（3）連接BD，交A₁B₁于點G，過點A₁作A₁H⊥AC于點H．根據(jù)三角形的面積公式可得S關于x的函數(shù)關系式．

解答：解：（1）相似（1分）
由題意得：∠APA₁=∠BPB₁=α，AP=A₁P，BP=B₁P，
則∠PAA₁=∠PBB₁=

180°-α

2

=90°-

α

2

，（2分）
∵∠PBB₁=∠EBF，
∴∠PAE=∠EBF，
又∵∠BEF=∠AEP，∠EBF=∠EAP，
∴△BEF∽△AEP；（3分）

（2）存在，理由如下：（4分）
∵∠PAE=∠EBF，∠AEP=∠BEF，
∴△BEF∽△AEP，
若要使得△BEF≌△AEP，只需要滿足BE=AE即可，（5分）
∴∠BAE=∠ABE，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=60°-(90°-

α

2

)=

α

2

-30°，
∵∠ABE=β，∠BAE=∠ABE，（6分）
∴

α

2

-30°=β，
即α=2β+60°；（7分）

（3）連接BD，交A₁B₁于點G，
過點A₁作A₁H⊥AC于點H．
∵∠B₁A₁P=∠A₁PA=60°，
∴A₁B₁∥AC，
由題意得：AP=A₁P=2+x，∠A=60°，
∴△PAA₁是等邊三角形，
∴A₁H=sin60°A₁P=

3

2

(2+x)，（8分）
在Rt△ABD中，BD=2

3

，
∴BG=2

3

-

3

2

(2+x)=

3

-

3

2

x，（9分）
∴S△A1BB1=

1

2

×4×(

3

-

3

2

x)=2

3

-

3

x（0≤x＜2）．（10分）

點評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)；利用等邊三角形的性質(zhì)去探究相似三角形和全等三角形，利用相似三角形和全等三角形的性質(zhì)解決題目的圖形變換規(guī)律是非常重要的，要注意掌握．