如圖1，在等邊△ABC中，AD是∠BAC的平分線，一個(gè)含有120°角的△MPN的頂點(diǎn)P（∠MPN=120°）與點(diǎn)D重合，一邊與AB垂直于點(diǎn)E，另一邊與AC交于點(diǎn)F．
（1）請(qǐng)猜想并寫出AE+AF與AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，不必證明．
（2）在圖1的基礎(chǔ)上，若△MPN繞著它的頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，E、F仍然是△MPN的兩邊與AB、AC的交點(diǎn)，當(dāng)三角形紙板的邊不與AB垂直時(shí)，如圖2，（1）中猜想是否仍然成立？說(shuō)明理由．
（3）如圖3，若△MPN繞著它的頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)△MPN的一邊與AB的延長(zhǎng)線相交，另一邊與AC的反向延長(zhǎng)線相交時(shí)，AE、AF與AD之間又滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不必證明．精英家教網(wǎng)
分析：（1）根據(jù)題意利用等邊三角形、角平分線直角三角形、銳角三角函數(shù)推理可得出AE+AF=
3
AD；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，利用圖1，可推理得出結(jié)論仍然成立；
（3）結(jié)合（1）（2）可推理出AE-AF=
3
AD．
解答：精英家教網(wǎng)解：（1）AE+AF=
3
AD，

（2）AE+AF=
3
AD，仍然成立，
證明：過(guò)D點(diǎn)作AB、AC的垂線，垂足為Q、W，
可證△DEQ≌△DFW，∴AQ=AW，EQ=FW，
AE+AF=AQ+QE+AW-FW=2AQ=2×
AD
cos30°
=
3
AD，
∴仍然滿足AE+AF=
3
AD，

（3）AE-AF=
3
AD．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形、角平分線直角三角形、銳角三角函數(shù)以及旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，難度較大．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段DC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合），連接BP．將△ABP繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，連接AA1，射線AA1分別交射線PB、射線B1B于點(diǎn)E、F．
（1）如圖1，當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，在α角變化過(guò)程中，△BEF與△AEP始終存在
 
關(guān)系（填“相似”或“全等”），并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，設(shè)∠ABP=β．當(dāng)60°＜α＜180°時(shí)，在α角變化過(guò)程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖3，當(dāng)α=60°時(shí)，點(diǎn)E、F與點(diǎn)B重合．已知AB=4，設(shè)DP=x，△A1BB1的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【觀察發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1，若點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最�。�
作法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P．
（2）如圖2，在等邊三角形ABC中，AB=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最�。�
作法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為
2
3
2
3
．
【實(shí)踐運(yùn)用】
如圖3，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，若點(diǎn)P是BD上的動(dòng)點(diǎn)，則MP+PN的最小值是
5
5
．
【拓展延伸】
（1）如圖4，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，∠DAC的平分線交DC于點(diǎn)E．若點(diǎn)P，Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值是
5
2
2
5
2
2
；
（2）如圖5，在四邊形ABCD的對(duì)角線BD上找一點(diǎn)P，使∠APB=∠CPB．保留畫圖痕跡，并簡(jiǎn)要寫出畫法．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

請(qǐng)閱讀下列材料?：
問(wèn)題：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB=
3
，PC=1．求∠BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)．
李明同學(xué)的思路是：將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2）．連接PP′，可得△P′PB是等邊三角形（可證），而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證）．所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．進(jìn)而把AB放在Rt△APB（可證得）中，用勾股定理求出等邊△ABC的邊長(zhǎng)為
7
．問(wèn)題得到解決．?
[思路分析]首先仔細(xì)閱讀材料，問(wèn)題中小明的做法總結(jié)起來(lái)就是通過(guò)旋轉(zhuǎn)固定的角度將已知條件放在同一個(gè)（組）圖形中進(jìn)行研究．旋轉(zhuǎn)60度以后BP就成了BP′，PC成了P′A，借助等量關(guān)系BP′=PP′，于是△APP′就可以計(jì)算了．
解決問(wèn)題：
請(qǐng)你參考李明同學(xué)旋轉(zhuǎn)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：
如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=
5
，BP=
2
，PC=1．求∠BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）畫圖探究：
如圖1，若點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)，在直線m上求作一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法；
（2）實(shí)踐運(yùn)用：
如圖2，在等邊△ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，點(diǎn)P是高AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求BP+PE的最小值
（3）拓展延伸：
如圖3，四邊形ABCD中，∠BAD=125°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長(zhǎng)最小，并求此時(shí)∠MAN的度數(shù)．

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