Question

如圖，A（

1

2

，y₁），B（2，y₂）在反比例函數(shù)y=

1

x

圖象，動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在x正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP與BP差最大時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題

專(zhuān)題：

分析：先求出A、B的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐標(biāo)代入求出直線AB的解析式，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出在△ABP中，|AP-BP|＜AB，延長(zhǎng)AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA-PB=AB，此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，求出直線AB于x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：∵把A（

1

2

，y₁），B（2，y₂）代入反比例函數(shù)y=

1

x

得：y₁=2，y₂=

1

2

，
∴A（

1

2

，2），B（2，

1

2

）．
在△ABP中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：|AP-BP|＜AB，
∴延長(zhǎng)AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA-PB=AB，
即此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，
設(shè)直線AB的解析式是y=ax+b（a≠0）
把A、B的坐標(biāo)代入得：

2= 1 2 x+b 1 2 =2x+b

，
解得：

a=-1 b= 5 2

，
∴直線AB的解析式是y=-x+

5

2

，
當(dāng)y=0時(shí)，x=

5

2

，即P（

5

2

，0）；
故答案為：（

5

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．