Question

5．如圖1，將一副三角板的兩個銳角頂點放到一塊，∠AOB=45°，∠COD=30°，OM，ON分別是∠AOC，∠BOD的角平分線．
（1）當∠COD繞著點O逆時針旋轉至射線OB與OC重合時（如圖2），則∠MON的大小為37.5°；
（2）如圖3，在（1）的條件下，繼續(xù)繞著點O逆時針旋轉∠COD，當∠BOC=10°時，求∠MON的大小，寫出解答過程；
（3）在∠COD繞點O逆時針旋轉過程中，∠MON=37.5或142.5°．

Answer 1

分析 （1）根據角平分線的定義可以求得∠MON=$\frac{1}{2}$（∠AOB+∠COD）；
（2）根據圖示可以求得：∠BOD=∠BOC+∠COD=40°．然后結合角平分線的定義推知∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOD，∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC，即可得到結論；
（3）根據（1）、（2）的解題思路即可得到結論．

解答 解：（1）∵∠AOB=45°，∠COD=30°，OM，ON分別是∠AOC，∠BOD的角平分線，
∴∠BON=$\frac{1}{2}$∠COD=15°，∠MOB=$\frac{1}{2}$∠AOB=22.5°，
∴∠MON=37.5°．
故答案為：37.5°；
（2）當繞著點O逆時針旋轉∠COD，∠BOC=10°時，∠AOC=55°，∠BOD=40°，
∴∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD=20°，∠MOB=$\frac{1}{2}$∠AOC=22.5°，
∴∠MON=37.5°；
（3）∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠BOD=∠COD+∠BOC，
∵OM，ON分別是∠AOC，∠BOD的角平分線，∠AOB=45°，∠COD=30°，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（∠AOB+∠BOC），∠CON=$\frac{1}{2}∠$BOD-∠BOC，
∴∠MON=$\frac{1}{2}$（∠AOB+∠BOC）+$\frac{1}{2}∠$BOD-∠BOC=$\frac{1}{2}∠AOB$+$\frac{1}{2}$（∠BOD-∠BOC）=$\frac{1}{2}∠AOB+\frac{1}{2}∠COD$=37.5°，$\frac{1}{2}$α+$\frac{1}{2}$β=$\frac{1}{2}$（α+β）；
當∠COD在OA、OB的反向延長線形成的角的內部時，
同理，∠MON=142.5°，
綜上所述：∠MON=37.5°或142.5°，
故答案是：37.5或142.5．

點評 此題主要考查了角的計算，正確根據角平分線的性質得出是解題關鍵．