【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C 是⊙O上一點,過點C 作⊙O的切線,交BA的延長線交于點D,過點B 作BE⊥BA,交DC延長線于點E,連接OE,交⊙O于點F,交BC于點H,連接AC.
(1)求證:∠ECB=∠EBC;
(2)連接BF,CF,若BF=5,sin∠FBC=,求AC的長.
【答案】(1)見詳解;(2)
【解析】
(1)先證EB為⊙O的切線,再利用切線長定理即可證得∠ECB=∠EBC;
(2)先由BF=5,sin∠FBC=求得FH及HB的長,再由Rt△BOH的勾股定理求得OH長,最后利用中位線即可求得AC的長.
(1)證明:∵BE⊥BA,AB是⊙O的直徑,
∴BE是⊙O的切線,
又∵CE是⊙O的切線,
∴BE=CE,
∴∠ECB=∠EBC;
(2)解:如圖,連接OC,
∵BE=CE,OB=OC,
∴OE垂直平分BC,
∴∠BHF=∠BHO=90°,點H為BC的中點,
∴在Rt△BHF中,sin∠FBC==,
∵BF=5,
∴FH=3,
∴BH=,
設OH=x,則OB=OF=x+3,
在Rt△OHB中,OH2+BH2=OB2,
∴x2+42=(x+3)2,
解得x=
∴OH=
∵點O、H分別為AB、CB的中點,
∴OH是△ABC的中位線,
∴AC=2OH=
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【題目】如圖,在平面直角坐標系x0y中,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)(m≠0)的圖象交于二、四象限內(nèi)的A、B兩點,與x軸交于C點,點B的坐標為(6,n).線段OA=5,E為x軸上一點,且sin∠AOE=.
(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)求△AOC的面積.
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【題目】“長跑”是中考體育考試項目之一.某中學為了解九年級學生“長跑”的情況,隨機抽取部分九年級學生,測試其長跑成績(男子1000米,女子800米),按長跑的時間的長短依次分為A,B,C,D四個等級進行統(tǒng)計,并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中共抽取了 名學生,扇形統(tǒng)計圖中,D類所對應的扇形圓心角大小為 ;
(2)所抽取學生“長跑”測試成績的中位數(shù)會落在 等級;
(3)若該校九年級共有900名學生,請你估計該校C等級的學生約在多少人?
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【題目】中雅培粹學校舉辦運動會,全校有3000名同學報名參加校運會,為了解各類運動賽事的分布情況,從中抽取了部分同學進行統(tǒng)計:A.田徑類,B.球類,C.團體類,D.其他,并將統(tǒng)計結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
(1)這次統(tǒng)計共抽取了 位同學,扇形統(tǒng)計圖中的 ,的度數(shù)是 ;
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)估計全校共多少學生參加了球類運動.
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【題目】已知∠PAQ=36°,點B為射線AQ上一固定點,按以下步驟作圖:①分別以A,B為圓心,大于AB的長為半徑畫弧,相交于兩點M,N;②作直線MN交射線AP 于點D,連接 BD;③以B為圓心,BA長為半徑畫弧,交射線AP 于點C; 根據(jù)以上作圖過程及所作圖形,下列結(jié)論中錯誤的是( )
A.∠CDB=72°B.△ADB∽△ABCC.CD:AD=2:1D.∠ABC=3∠ACB
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【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C,給出如下的定義:若⊙C上存在兩個點A、B,使得∠APB=60°,則稱P為⊙C的可視點.
(1)當⊙O的半徑為1時,
①在點、E(1,1)、F(3,0)中,⊙O的可視點是______.
②過點M(4,0)作直線l:y=kx+b,若直線l上存在⊙O的可視點,求b的取值范圍;
(2)若T(t,0),⊙T的半徑為1,直線y=上存在⊙T的可視點,且所有可視點構(gòu)成的線段長度為n,若,直接寫出t 的取值范圍.
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【題目】隨著通訊技術(shù)的迅猛發(fā)展,人與人之間的溝通方式更多樣、便捷某校數(shù)學興趣小組設計了“你最喜歡的溝通方式”調(diào)查問卷(每人必選且只選一種),在全校范圍內(nèi)隨機調(diào)查了部分學生,將統(tǒng)計結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請結(jié)合圖中所給的信息解答下列問題:
(1)這次統(tǒng)計共抽查了多少名學生?在扇形統(tǒng)計圖中,表示" "的扇形圓心角的度數(shù)是多少;
(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)該校共有1500名學生,請估計該校最喜歡用 “微信”進行溝通的學生大約有多少名?
(4)某天甲、乙兩名同學都想從“微信"、""、“電話"三種溝通方式中選一種方式與對方聯(lián)系,請用列表或畫樹狀圖的方法求出甲、乙兩名同學恰好選擇同一種溝通方式的概率.
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【題目】如圖,△ABO是正三角形,CD∥AB,把△ABO繞△OCD的內(nèi)心P旋轉(zhuǎn)180°得到△EFG
(1)在圖中畫出點P和△EFG,保留畫圖痕跡,簡要說明理由
(2)若AO=3,CD=2,求A點運動到E點路徑的長.
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【題目】如圖,男生樓在女生樓的左側(cè),兩樓高度均為90m,樓間距為AB,冬至日正午,太陽光線與水平面所成的角為,女生樓在男生樓墻面上的影高為CA;春分日正午,太陽光線與水平面所成的角為,女生樓在男生樓墻面上的影高為DA,已知.
求樓間距AB;
若男生樓共30層,層高均為3m,請通過計算說明多少層以下會受到擋光的影響?參考數(shù)據(jù):,,,,,
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