Question

12．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，以DC為直徑的⊙O分別交邊AB、BC，AC于點(diǎn)G，F(xiàn)，E，GE交CD于點(diǎn)M，ME=4$\sqrt{6}$，MD：CO=2：5．
（1）求證：△MEO∽△MCE；
（2）求⊙O的直徑CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接DF，根據(jù)CD是圓直徑，可知∠CFD=90°即DF⊥BC，DF∥AC，推出∠BDF=∠A，在⊙O中∠BDF=∠GEF，所以∠GEF=∠A；因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以CD=AD，易得∠DCE=∠A，由相似三角形的判定定理，易得結(jié)論．
（2）根據(jù)D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，DC=DA，∠DCA=∠A，可證明△OME與△EMC相似，所以ME²=OM×MC，結(jié)合MD：CO=2：5，OM：MD=3：2，OM：MC=3：8，設(shè)OM=3xMC=8x，可求x=2，則直徑CD=10x=20；

解答 （1）證明：連接DF，
∵CD是圓直徑，
∴∠CFD=90°即DF⊥BC，
∵∠ACB=90°，
∴DF∥AC，
∴∠BDF=∠A，
∵在⊙O中，∠BDF=∠GEF，
∴∠GEF=∠A，
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴CD=AD，
∴∠DCE=∠A=∠GEF，
即∠MCE=∠MEO，
∵∠CME=∠EMO，
∴△MEO∽△MCE（AA）；

（2）解：∵D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，
∴DC=DA，
∴∠DCA=∠A，
又由（1）知∠GEF=∠A，
∴∠DCA=∠GEF，
又∵∠OME=∠EMC，
∴△OME∽△EMC，
∴$\frac{OM}{ME}=\frac{ME}{MC}$，
∴ME²=OM×MC，
又∵M(jìn)E=4$\sqrt{6}$，
∴OM×MC═96，
∵M(jìn)D：CO=2：5，
∴OM：MD=3：2，∴OM：MC=3：8，
設(shè)OM=3x，MC=8x，
∴3x×8x=96，
∴x=2，
CD=10x=20．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．