【題目】在坐標(biāo)系xOy中,拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣3,0)和B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C,
(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)D為此拋物線(xiàn)上位于直線(xiàn)AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△DAC的面積最大時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)設(shè)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M,記拋物線(xiàn)在第二象限之間的部分為圖象G.點(diǎn)N是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn),如果直線(xiàn)MN與圖象G有公共點(diǎn),請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖象,直接寫(xiě)出點(diǎn)N縱坐標(biāo)t的取值范圍.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)D(﹣, );(3)當(dāng)2<t≤4時(shí),直線(xiàn)MN與函數(shù)圖象G有公共點(diǎn).
【解析】試題分析:(1)設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a(x+3)(x﹣1),然后將a=﹣1代入即可求得拋物線(xiàn)的解析式;
(2)過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸,交AC于點(diǎn)E.先求得點(diǎn)C的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)AC的解析式,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為,則E點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,x+3),于是得到DE的長(zhǎng)(用含x的式子表示,接下來(lái),可得到△ADC的面積與x的函數(shù)關(guān)系式,最后依據(jù)配方法可求得三角形的面積最大時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)如圖2所示:先求得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo),于是可得到點(diǎn)M的坐標(biāo),可判斷出點(diǎn)M在直線(xiàn)AC上,從而可求得點(diǎn)N的坐標(biāo),當(dāng)點(diǎn)N′與拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)重合時(shí),N′的坐標(biāo)為(﹣1,4),于是可確定出t的取值范圍.
試題解析:(1)設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a(x+3)(x﹣1).
由題意可知:a=﹣1.
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣1(x+3)(x﹣1),即;
(2)如圖所示:過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸,交AC于點(diǎn)E.
∵當(dāng)x=0時(shí),y=3,
∴C(0,3).
設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+3.
∵將A(﹣3,0)代入得:﹣3k+3=0,解得:k=1,
∴直線(xiàn)AC的解析式為y=x+3.
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x, ),則E點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,x+3).
∴DE=﹣(x+3)=.
∴△ADC的面積=DEOA=×3×()=.
∴當(dāng)x=時(shí),△ADC的面積有最大值.
∴D.
(3)如圖2所示:
∵y==,
∴
∵點(diǎn)M與拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),
∴M(1,4).
∵將x=1代入直線(xiàn)AC的解析式得y=4,
∴點(diǎn)M在直線(xiàn)AC上.
∵將x=﹣1代入直線(xiàn)AC的解析式得:y=2,
∴N(﹣1,2).
又∵當(dāng)點(diǎn)N′與拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)重合時(shí),N′的坐標(biāo)為(﹣1,4).
∴當(dāng)2<t≤4時(shí),直線(xiàn)MN與函數(shù)圖象G有公共點(diǎn).
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【題目】在同一平面內(nèi),若兩條直線(xiàn)相交,則公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是;若兩條直線(xiàn)平行,則公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 .
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【題目】如圖,下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是( 。
A.∠3和∠5是同位角
B.∠4和∠5是同旁?xún)?nèi)角
C.∠2和∠4是對(duì)頂角
D.∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角
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【題目】下列命題是真命題的是( )
A. 同旁?xún)?nèi)角相等,兩直線(xiàn)平行
B. 對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形
C. 相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角
D. 圓內(nèi)接四邊形對(duì)角相等
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【題目】在Rt△ABC中,∠C=90°,當(dāng)∠A的度數(shù)不斷增大時(shí),cosA的值的變化情況是( )
A.不斷變大
B.不斷減小
C.不變
D.不能確定
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【題目】一家今年剛成立的小型快遞公司業(yè)務(wù)量逐月攀升,今年7月份和9月份完成投送的快遞件數(shù)分別是20萬(wàn)件和24.2萬(wàn)件.若假設(shè)該公司每月投送的快遞件數(shù)的增長(zhǎng)率相同,則這家公司投送快遞件數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為 ________________.
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【題目】在等邊△ABC中:
(1)如圖1,P,Q是BC邊上的兩點(diǎn),AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度數(shù);
(2)點(diǎn)P,Q是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè),且AP=AQ,點(diǎn)Q關(guān)于直線(xiàn)AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M,連接AM,PM.
①依題意將圖2補(bǔ)全;
②小茹通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜想:在點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,始終有PA=PM,小茹把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流,通過(guò)討論,形成了證明該猜想的幾種想法:
想法1:要證明PA=PM,只需證△APM是等邊三角形;
想法2:在BA上取一點(diǎn)N,使得BN=BP,要證明PA=PM,只需證△ANP≌△PCM;
想法3:將線(xiàn)段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線(xiàn)段BK,要證PA=PM,只需證PA=CK,PM=CK…
請(qǐng)你參考上面的想法,幫助小茹證明PA=PM(一種方法即可).
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