Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0y中，Rt△OA₁C₁，Rt△OA₂C₂，Rt△OA₃C₃，Rt△OA₄C₄…的斜邊都在坐標(biāo)軸上，∠A₁OC₁=∠A₂OC₂=∠A₃OC₃=∠A₄OC₄=…=30°．若點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（3，0），OA₁=OC₂，OA₂=0C₃，OA₃=OC₄…，則依此規(guī)律，點(diǎn)A₂₀₁₅的橫坐標(biāo)為-4×$（\frac{4}{3}）^{1006}$．

Answer 1

分析 根據(jù)解直角三角形找出部分A點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)找出點(diǎn)的變化規(guī)律“A_4n+1（3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n}$，0），A_4n+2（0，3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n+1}$），A_4n+3（-3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n+2}$，0），A_4n+4（0，-3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n+3}$）”，由此規(guī)律即可找出點(diǎn)A₂₀₁₅的橫坐標(biāo)．

解答 解：∵Rt△OA₁C₁，Rt△OA₂C₂，Rt△OA₃C₃，Rt△OA₄C₄…中，∠A₁OC₁=∠A₂OC₂=∠A₃OC₃=∠A₄OC₄=…=30°，
∴OA₁=3，OA₂=$\frac{O{A}_{1}}{cos∠{A}_{2}O{C}_{2}}$=2$\sqrt{3}$，OA₃=$\frac{O{A}_{2}}{cos∠{A}_{3}O{C}_{3}}$=4，OA₄=$\frac{O{A}_{3}}{cos∠{A}_{4}O{C}_{4}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，OA₅=$\frac{O{A}_{4}}{cos∠{A}_{5}O{C}_{5}}$=$\frac{16}{3}$，…，
∴A₁（3，0），A₂（0，2$\sqrt{3}$），A₃（-4，0），A₄（0，-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$），A₅（$\frac{16}{3}$，0），…，
∴發(fā)現(xiàn)規(guī)律：A_4n+1（3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n}$，0），A_4n+2（0，3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n+1}$），A_4n+3（-3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n+2}$，0），A_4n+4（0，-3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n+3}$）．
∵2015=503×4+3，
∴點(diǎn)A₂₀₁₅的橫坐標(biāo)為-3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2014}$=-4×$（\frac{4}{3}）^{1006}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了規(guī)律型中的點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是找出點(diǎn)的變化規(guī)律“A_4n+1（3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n}$，0），A_4n+2（0，3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n+1}$），A_4n+3（-3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n+2}$，0），A_4n+4（0，-3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n+3}$）”．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)解直角三角形找出部分點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)找出點(diǎn)的變化規(guī)律是關(guān)鍵．